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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 31-08-2023 09:07:00
- Dr_Piradians
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$g$ bijective et $g\circ f$ surjective
Bonjour, je dois démontrer que $g:F\to G$ bijective et $g\circ f : E\to G$ surjective implique $f$ surjective.
On a en hypothèse $\forall y,y'\in F,g(y)=g(y')\implies y=y'$
$\forall z\in G,\exists y\in F,z=g(y)$
$\forall z\in G,\exists x\in E,z=(g\circ f)(x)$
On doit démontrer $\forall y\in F,\exists x\in E,y=f(x)$
J'ai fait un début de démonstration mais je n'arrive pas à démontrer et surtout je ne comprends pas en quoi le fait que $g$ soit bijective est cruciale.
On a $(\forall z\in G,\exists x\in E,z=(g\circ f)(x))\implies\exists y\in F,y=f(x)$. Mais comme $g$ est une application de $F$ dans $G$, alors tout élément $y$ de $F$ a une image $z$ dans $G$ et donc un antécédent $x$ dans $E$. Mais pour ça je n'ai pas eu besoin de savoir que $g$ est bijective. Alors j'ai dû me tromper quelque part dans ma démonstration.
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#3 31-08-2023 10:42:01
- Dr_Piradians
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Re : $g$ bijective et $g\circ f$ surjective
J'ai compris mon erreur en faisant des schémas. Mon raisonnement n'est vrai que si chaque élément $z$ de $G$ a un unique antécédent $y$ dans $F$, ainsi on peut remplacer tous les $z$ par tous les $y$ mais je ne sais pas démontrer formellement ce remplacement au moyen de formules.
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#4 31-08-2023 10:50:08
- bridgslam
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Re : $g$ bijective et $g\circ f$ surjective
Je pense que vous vous compliquez la vie.
Que se passe-t-il pour l'image d'un y de F, en appliquant les hypothèses ?
Ensuite, en relisant, la conclusion coule de source.
A.
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#5 31-08-2023 12:20:39
- Dr_Piradians
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Re : $g$ bijective et $g\circ f$ surjective
L'image $z$ d'un $y$ de $F$ a un antécédent $x$, mais ça ne signifie pas que chaque $y$ possède un antétédent $x$. En effet, si deux $y$ possèdent une même image $z$, alors $z$ peut avoir un antécédent $x$ par le biais d'un seul de ces $y$, et l'autre $y$ sera sans antécédent $x$, et donc $f$ ne sera pas surjective. En revanche si $z$ a un unique antécédent $y$, alors tout $y$ a un antécédent $x$.
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#6 31-08-2023 12:23:09
- Dr_Piradians
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Re : $g$ bijective et $g\circ f$ surjective
Cela découle du fait que $g$ est injective.
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