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#1 Entraide (supérieur) » Extension de Galois » 19-05-2024 23:49:09
- ceru
- Réponses : 0
Je suis en train de lire une preuve du théorème fondamental de l'algèbre dans un de mes livres et j'ai un léger soucis de compréhension. Voici d'abord le passage qui me pose problème :
"Soient $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ un polynôme non-constant et $F$ un corps de décomposition de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$; on suppose $F$ à l'intérieur d'une clôture algébrique de $\mathbb{R}$ et on considère l'extension
$$ \mathbb{C} \subseteq F(i) $$
Cette extension est de Galois."
Je ne vois pas très bien pourquoi..
Toute aide est la bienvenue !
#2 Re : Entraide (supérieur) » Questions d'algèbre » 23-09-2023 12:23:52
Bonjour et merci pour votre réponse !
Pour la Q1 le principe est le même que lorsqu'on décompose une fonction rationnelle en éléments simples. Les scalaires étant fixés, ils restent les mêmes quelque soit la valeur de $x$ ? Dans ce cas ;
Pour $x=0$ on a $\gamma + \mu + \lambda = 0$
Pour $x=\frac{\pi}{2}$ on a $\gamma - \lambda = 0$
Pour $x=\pi$ on a $\gamma - \mu + \lambda=0$
On effectue le pivot de Gauss sur le système d'équation et on trouve $\gamma = \mu = \lambda = 0$. La famille est libre.
Pour la Q2, on ne nous dit pas ce qu'est $E$ mais je pense que vous avez raison et qu'il s'agit de $E=F_1 ~\oplus ...\oplus ~ F_r$. Je n'ai ni montré $(\Longrightarrow)$ ou $(\Longleftarrow)$
#3 Entraide (supérieur) » Questions d'algèbre » 22-09-2023 21:54:25
- ceru
- Réponses : 3
Bonjour,
J'ai un devoir maison à rendre prochainement. J'ai répondu à la majorité des questions mais je bloque encore sur quelques unes d'entre-elles.
1) Montrer que dans l'espace vectoriel des fonctions $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, la famille constituée de la fonction constante égale à 1, $\text{cos}$ et $x \mapsto \text{cos}(2x)$ est libre.
Ce que je ne comprends pas c'est que l'équation $\gamma + \mu \text{cos}(x) + \lambda \text{cos}(2x)=0$ pour tout $\lambda, \mu, \gamma \in \mathbb{R}$ admet des solutions dans $\mathbb{R}$. Donc elle n'est pas libre ? Une subtilité doit m'échapper.
2) Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,...,F_r$ des sous-espaces vectoriels de $E$.
Montrer que $F_1+...+F_r=F_1 \oplus ... \oplus F_r$ si et seulement si $\forall k = 1,..,r-1, ~ \left( \sum_{i=1}^{k} F_i \right) \cap F_{k+1}=\left\{ 0 \right\}$. J'imagine qu'il faut utiliser le fait que $\bigcap_{i=1}^{r} F_i=\left\{ 0 \right\}$ mais je ne sais pas trop où commencer.
Merci par avance pour vos réponses !
#4 Re : Entraide (supérieur) » Équations différentielles » 20-04-2021 21:20:33
Merci je vais regarder ça !
#5 Entraide (supérieur) » Équations différentielles » 20-04-2021 18:54:44
- ceru
- Réponses : 5
Bonsoir, j'ai un DM à rendre prochainement. J'ai réalisé l'intégralité du DM sauf l'exercice suivant (qui d'ailleurs est facultatif). Néanmoins j'aimerais au moins le comprendre.
Si vous avez des pistes je suis tout ouïe !
En voici l'énoncé,
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions [tex]f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dérivables et vérifiant, pour tous [tex]t, s\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]f(t+s)=f(t)f(s).[/tex]
1. Montrer que si [tex]f(0)=0[/tex], alors [tex]f(t)=0 \;\forall t \in \mathbb{R}[/tex], et que sinon [tex]f(0)=1[/tex].
2. Montrer que [tex]f'(t)=f(t)f'(0) \;\forall t \in \mathbb{R}[/tex] et en déduire l'ensemble des solutions de [tex]f[/tex].
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