Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ceru

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Équations différentielles

Bonsoir, j'ai un DM à rendre prochainement. J'ai réalisé l'intégralité du DM sauf l'exercice suivant (qui d'ailleurs est facultatif). Néanmoins j'aimerais au moins le comprendre.
Si vous avez des pistes je suis tout ouïe !

En voici l'énoncé,

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions [tex]f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dérivables et vérifiant, pour tous [tex]t, s\in \mathbb{R}[/tex]

[tex]f(t+s)=f(t)f(s).[/tex]

1. Montrer que si [tex]f(0)=0[/tex], alors [tex]f(t)=0 \;\forall t \in \mathbb{R}[/tex], et que sinon [tex]f(0)=1[/tex].

2. Montrer que [tex]f'(t)=f(t)f'(0) \;\forall t \in \mathbb{R}[/tex] et en déduire l'ensemble des solutions de [tex]f[/tex].

Dernière modification par ceru (20-04-2021 19:03:21)

Zebulor

Membre expert

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Messages : 2 220

Re : Équations différentielles

Bonsoir,
En survolant le sujet, une idée me vient ..pour la question 1 tu peux déjà voir ce qui se passe lorsque l'une au moins des deux variables $s$ ou $t$ est nulle.
Pour la question 2, probablement reprendre l'égalité proposée en la dérivant par rapport à $t$, $s$ étant alors une constante. Et voir ce qu'elle donne en un point que je te laisse deviner, suggéré dans l'égalité de la question 2.

Dernière modification par Zebulor (20-04-2021 20:24:18)

ceru

Membre

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Messages : 5

Re : Équations différentielles

Merci je vais regarder ça !

Mathsup04

Invité

Re : Équations différentielles

Bonjour svp quelle est la norme dans cet espace W^{2,p}\cap W^{1,\infty} ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Équations différentielles

Bonjour Mathsup04,

Quel rapport a ton problème avec le sujet en cours ?
Aucun ?
Alors pourquoi as-tu cliqué sur Répondre ou Réponse rapide ?
Je ne peux pas laisser faire, parce que dans 3 mois, le forum sera devenu illisible !
En conséquence, si tu veux une réponse, ouvre une nouvelle discussion en cliquant sur le lien suivant :

Nouvelle discussion

lien au passage présent 2 fois (1 fois en haut et à droite, une fois en bas et à droite) sur chaque page de ce forum d'entraide (supérieur)...
Donne ensuite un titre à ton sujet aussi clair que possible et copie/colle ton présent post.

Dans les 48 h je supprimerai le présent message et le tien, en attendant, j'en suis désolé, tu n'auras pas de réponse...

      Yoshi
- Modérateur -

bridgslam

Membre Expert

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Re : Équations différentielles

Bonjour,

Ceru:

Analyse-synthèse:

Si f existe montrer en faisant s = t = 0 que f(0) vaut 1 ou 0.
Si f(0) = 0 réécrire la relation par exemple avec s = 0 et voir ce qui se passe.

Dériver par rapport à t (par exemple ) les deux expressions, les égaler , puis l'écrire avec s = 0.

La forme de l'équation différentielle doit t'évoquer les exponentielles, sans doute un ensemble de fonctions à expliciter.

Vérifier que la ou les fonctions trouvées répondent ( ou pas) à l' égalité de départ ( vérification indispensable, car rien ne dit que tout va marcher ).

Alain

Dernière modification par bridgslam (12-05-2021 16:37:37)