Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ceru

Membre

Inscription : 20-04-2021

Messages : 5

Questions d'algèbre

Bonjour,
J'ai un devoir maison à rendre prochainement. J'ai répondu à la majorité des questions mais je bloque encore sur quelques unes d'entre-elles.

1) Montrer que dans l'espace vectoriel des fonctions $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, la famille constituée de la fonction constante égale à 1, $\text{cos}$ et $x \mapsto \text{cos}(2x)$ est libre.

Ce que je ne comprends pas c'est que l'équation $\gamma + \mu \text{cos}(x) + \lambda \text{cos}(2x)=0$ pour tout $\lambda, \mu, \gamma \in \mathbb{R}$ admet des solutions dans $\mathbb{R}$. Donc elle n'est pas libre ? Une subtilité doit m'échapper.

2) Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,...,F_r$ des sous-espaces vectoriels de $E$.

Montrer que $F_1+...+F_r=F_1 \oplus ... \oplus F_r$ si et seulement si $\forall k = 1,..,r-1, ~ \left( \sum_{i=1}^{k} F_i \right) \cap F_{k+1}=\left\{ 0 \right\}$. J'imagine qu'il faut utiliser le fait que $\bigcap_{i=1}^{r} F_i=\left\{ 0 \right\}$ mais je ne sais pas trop où commencer.

Merci par avance pour vos réponses !

Glozi

Invité

Re : Questions d'algèbre

Bonjour,
Pour la Q1 posons $f_n : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto \cos(nx)$. Le but c'est de montrer que $(f_0,f_1,f_2)$ est libre, autrement dit si $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ tels que $\alpha f_0 + \beta f_1 +\gamma f_2=0$ alors $\alpha=\beta = \gamma=0$. Remarque : $\alpha f_0 + \beta f_1 +\gamma f_2=0$ est une égalité entre fonctions (ie une égalité entre deux vecteurs de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$), on peut donc évaluer les membres de cette égalité à des $x$ qui nous arrangent, le but étant de prouver que forcément $\alpha =\beta =\gamma=0$.
Pour la Q2, on doit montrer une équivalence, est-ce que tu as fait l'un des deux sens ? (déjà première question : c'est quoi la définition de $E = F_1\oplus \dots \oplus F_n$ ?
Bonne soirée

ceru

Membre

Inscription : 20-04-2021

Messages : 5

Re : Questions d'algèbre

Bonjour et merci pour votre réponse !
Pour la Q1 le principe est le même que lorsqu'on décompose une fonction rationnelle en éléments simples. Les scalaires étant fixés, ils restent les mêmes quelque soit la valeur de $x$ ? Dans ce cas ;

Pour $x=0$ on a $\gamma + \mu + \lambda = 0$
Pour $x=\frac{\pi}{2}$ on a $\gamma - \lambda = 0$
Pour $x=\pi$ on a $\gamma - \mu + \lambda=0$

On effectue le pivot de Gauss sur le système d'équation et on trouve $\gamma = \mu = \lambda = 0$. La famille est libre.

Pour la Q2, on ne nous dit pas ce qu'est $E$ mais je pense que vous avez raison et qu'il s'agit de $E=F_1 ~\oplus ...\oplus ~ F_r$. Je n'ai ni montré $(\Longrightarrow)$ ou $(\Longleftarrow)$

Glozi

Invité

Re : Questions d'algèbre

Bonjour,

Pour la Q2, on ne nous dit pas ce qu'est $E$ mais je pense que vous avez raison et qu'il s'agit de $E=F_1 ~\oplus ...\oplus ~ F_r$.

Non ce n'est pas ce que je voulais dire. Désolé, je n'avais pas vu que $E$ était déjà le nom de l'espace vectoriel ambiant.
Je reformule mes propos : si $E$ un espace vectoriel,  $G$ et $(F_i)_i$ des sous espaces de $E$, qu'est ce que ça veut dire quand on écrit $G=F_1\oplus \dots \oplus F_r$ ? Cela signifie deux choses :
1. $G=F_1+F_2+\dots+F_r$ (ie $G$ est l'espace vectoriel engendré par tous les $F_i$)
2. Il y a unicité de l'écriture d'un élément de $G$ comme somme d'élements des $F_i$
$\forall g\in G, \exists ! (f_1,\dots,f_r)\in F_1\times \dots \times F_r, g=f_1+\dots+f_r$ (l'existence est garantie par 1. là on rajoute l'unicité).

Par exemple pour le sens $\Rightarrow$ on pose $G=F_1+\dots+F_r$ et on suppose $G=F_1\oplus \dots \oplus F_r$. Prenons $1\leq k\leq r-1$ et prenons $x\in \left(\sum_{i=1}^k F_i\right)\cap F_{k+1}$ le but est de montré que $x=0$. Indice : utiliser l'unicité de l'écriture de $x$ (le point 2.).