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Bonjour à tous,

je vous propose ici un bon exercice de géométrie analytique de niveau fin de seconde que j'ai conçu hier et qui permet de bien s'entrainer avec des notions importantes de géométrie, de calcul de distance entre deux points, de vecteurs et d'équations de droites dans le plan. Toutes ces notions, une fois vues en cours, doivent être pratiquées encore et encore pour acquérir une certaine aisance avant l'entrée en Première.

A vos crayons, commencez par dessiner un beau repère orthonormé sur une grande feuille, et avancez pas à pas pour construire les différents points de A jusqu'à J, et les figures qui apparaissent. J'espère que vous y prendrez plaisir, et que vous saurez aller jusqu'à la dernière question.

Lorsque plusieurs solutions sont demandées, on peut se contenter d'en donner une, mais le mieux est de chercher si on peut aussi arriver au résultat par de la géométrie pure (type théorème de Thalès ou propriétés du triangle inscrit dans un cercle), en utilisant les vecteurs, ou par un peu de réflexion !

P.S. Les commentaires des enseignants ou des élèves de niveau supérieurs à la seconde sont les bienvenus !

Exercice :

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,[tex]\vec i[/tex],[tex]\vec j[/tex])

On considère les points A (-3 ; -4), B (-1 ; 1) et C([tex]\frac{1}{2}[/tex] ; [tex]{-}\frac{1}{2}[/tex])

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Soit E le symétrique de B par rapport à C.

     2.1. Calculer les coordonnées de E.
     2.2. Démontrer que le triangle ABE est isocèle (2 solutions)

3. Soit D le point tel que le quadrilatère ABDE soit un parallélogramme.

     3.1. Calculer les coordonnées de D.
     3.2. Quelle est la nature du parallélogramme ABDE ?
     3.3. Calculer la surface du parallélogramme ABDE.
     3.4. Déterminer l'équation de la droite (AD)

4. Soit I le milieu de [AB]

     4.1. Calculer les coordonnées de I.
     4.2. Démontrer que les droites (IC) et (BD) sont parallèles (2 solutions)
     4.3. Déterminer les équations des droites (IC), (BD) et (AE)
     4.4. Que représente le point I pour le triangle ABC ?
     4.5. Tracer le cercle [tex]\Gamma[/tex] circonscrit au triangle ABC.

5. Soit F le point d'intersection des droites (IC) et (DE)

     5.1. Déterminer l'équation de la droite (DE)
     5.2. Calculer les coordonnées de F
     5.3. Démontrer que F est le milieu de [DE]

6. Soit [tex]\Gamma{'}[/tex] le cercle de centre F et de rayon FD

     6.1. Démontrer que les points C et E appartiennent à [tex]\Gamma{'}[/tex] (2 solutions)
     6.2. Démontrer que C est l'unique point d'intersection entre [tex]\Gamma[/tex] et [tex]\Gamma{'}[/tex]

7. Soit G le point défini par la relation [tex]\vec {GA} - 3\vec {GB} = \vec 0[/tex]

     7.1. Construire vectoriellement le point G
     7.2. Calculer les coordonnées de G
     7.3. Démontrer que le quadrilatère GBEF est un parallélogramme (2 solutions).
     7.4. Déterminer l'équation de la droite (GF)

8. Soit H le point d'intersection des droites (GF) et (AE)

     8.1. Calculer les coordonnées de H
     8.2. Démontrer que le triangle AGH est isocèle.

9. Soit J le milieu de [GH]

     9.1. Calculer les coordonnées de J
     9.2. Démontrer que les points A, C et J sont alignés (3 solutions).

10. Démontrer que C est le centre de gravité du triangle AGH.

Ouf ! C'est terminé !