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chrismath

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Un peu de géométrie analytique

Bonjour à tous,

je vous propose ici un bon exercice de géométrie analytique de niveau fin de seconde que j'ai conçu hier et qui permet de bien s'entrainer avec des notions importantes de géométrie, de calcul de distance entre deux points, de vecteurs et d'équations de droites dans le plan. Toutes ces notions, une fois vues en cours, doivent être pratiquées encore et encore pour acquérir une certaine aisance avant l'entrée en Première.

A vos crayons, commencez par dessiner un beau repère orthonormé sur une grande feuille, et avancez pas à pas pour construire les différents points de A jusqu'à J, et les figures qui apparaissent. J'espère que vous y prendrez plaisir, et que vous saurez aller jusqu'à la dernière question.

Lorsque plusieurs solutions sont demandées, on peut se contenter d'en donner une, mais le mieux est de chercher si on peut aussi arriver au résultat par de la géométrie pure (type théorème de Thalès ou propriétés du triangle inscrit dans un cercle), en utilisant les vecteurs, ou par un peu de réflexion !

P.S. Les commentaires des enseignants ou des élèves de niveau supérieurs à la seconde sont les bienvenus !

Exercice :

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,[tex]\vec i[/tex],[tex]\vec j[/tex])

On considère les points A (-3 ; -4), B (-1 ; 1) et C([tex]\frac{1}{2}[/tex] ; [tex]{-}\frac{1}{2}[/tex])

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Soit E le symétrique de B par rapport à C.

     2.1. Calculer les coordonnées de E.
     2.2. Démontrer que le triangle ABE est isocèle (2 solutions)

3. Soit D le point tel que le quadrilatère ABDE soit un parallélogramme.

     3.1. Calculer les coordonnées de D.
     3.2. Quelle est la nature du parallélogramme ABDE ?
     3.3. Calculer la surface du parallélogramme ABDE.
     3.4. Déterminer l'équation de la droite (AD)

4. Soit I le milieu de [AB]

     4.1. Calculer les coordonnées de I.
     4.2. Démontrer que les droites (IC) et (BD) sont parallèles (2 solutions)
     4.3. Déterminer les équations des droites (IC), (BD) et (AE)
     4.4. Que représente le point I pour le triangle ABC ?
     4.5. Tracer le cercle [tex]\Gamma[/tex] circonscrit au triangle ABC.

5. Soit F le point d'intersection des droites (IC) et (DE)

     5.1. Déterminer l'équation de la droite (DE)
     5.2. Calculer les coordonnées de F
     5.3. Démontrer que F est le milieu de [DE]

6. Soit [tex]\Gamma{'}[/tex] le cercle de centre F et de rayon FD

     6.1. Démontrer que les points C et E appartiennent à [tex]\Gamma{'}[/tex] (2 solutions)
     6.2. Démontrer que C est l'unique point d'intersection entre [tex]\Gamma[/tex] et [tex]\Gamma{'}[/tex]

7. Soit G le point défini par la relation [tex]\vec {GA} - 3\vec {GB} = \vec 0[/tex]

     7.1. Construire vectoriellement le point G
     7.2. Calculer les coordonnées de G
     7.3. Démontrer que le quadrilatère GBEF est un parallélogramme (2 solutions).
     7.4. Déterminer l'équation de la droite (GF)

8. Soit H le point d'intersection des droites (GF) et (AE)

     8.1. Calculer les coordonnées de H
     8.2. Démontrer que le triangle AGH est isocèle.

9. Soit J le milieu de [GH]

     9.1. Calculer les coordonnées de J
     9.2. Démontrer que les points A, C et J sont alignés (3 solutions).

10. Démontrer que C est le centre de gravité du triangle AGH.

Ouf ! C'est terminé !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Un peu de géométrie analytique

Salut Chrismath,

Très gentil à toi, merci...
Mais sais-tu qu'ici tu es sur un forum d'entraide où viennent ceux qui des soucis en maths pour qu'on les aide à s'en sortir... ?
Toi tu nous proposes un exercice que tu as conçu toi : tu veux tester si on est capable de le faire ? Tu nous donnes combien de temps ? C'est noté ? Si on ne le rend pas, il y a une sanction ?
Tu es "légèrement" hors-sujet, non ?

@+

chrismath

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Inscription : 10-01-2010

Messages : 3

Re : Un peu de géométrie analytique

Bonjour Yoshi,
Désolé si ma démarche te paraît hors sujet. En fait je suis enseignant en soutien scolaire et j'ai constaté qu'en seconde puis dans les classes supérieures, beaucoup d'élèves ne font pas assez d'exercices, notamment concernant les équations de droite et la géométrie analytique ou vectorielle. Ils se content souvent de le faire deux ou trois fois, et c'est insuffisant pour créer des automatismes. L'exercice que je propose n'est pas très compliqué et n'est évidemment pas noté. Simplement, si quelques élèves pouvaient si intéresser, voir le coté ludique d'une construction progressive, poser des questions sur les notions qui ne sont pas claires pour eux, et faire l'effort de faire les calculs nécessaires, cela pourrait les aider par la suite.
J'adore les maths et j'ai envie de partager et transmettre cette passion. Encore mille excuses si ce que j'ai proposé est maladroit.
Cordialement, Chrismath

franklino

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Inscription : 26-01-2010

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Re : Un peu de géométrie analytique

1.)    AB2= [-1-(-3)]2 + [ 1-(-4)]2  = 29 ;      AC2= [  1/2 - (-3)]2 + [ -1/2 – (-4)]2 = 98/4
BC2= [½ - (-1)]2 + [-1/2 – (-1)]2 = 18/4. Par suite, AC2+BC2=98/4+18/4=29=AB2
Et donc, d’après la propriété de Pythagore, ABC est rectangle en C.

2-1.)  SI E est le symétrique de B par rapport à C, alors on aura la relation vectorielle suivante :  ; en passant aux coordonnées, nous aurons
XE = 2XC – XB                   ET          YE = 2YC – YB
     = 2                              ET               = -2 ;   donc     E (2 ; -2)

2-2.)                     … Ière méthode :
AB =   d’après 1.) ;  AE =   =   ;   BE = 
Et donc en résumé, ABE  est isocèle en A.
                                            …2ème méthode :
D’après 1.) ABC est rectangle en C ; en construisant le point C, symétrique de B par rapport à C, il est clair que la droite (AC) est non seulement une médiane, mais aussi une médiatrice du triangle ABE. Par conséquent donc,  ABE est isocèle en A.

3-1.)  ABDE étant un parallélogramme, nous avons les relations   
En passant aux coordonnées, on obtiendra
XD = XE – XA + XB           et                  YD = YE – YA + YB
      = 4                               et                        = 3
                                                                                       Donc   D (4 ; 3)

3-2.)  ABE étant isocèle, il est évident  qu’en construisant D tel que ABDE soit un parallélogramme, BDE le soit aussi.
     C est milieu de [AD], car en effet on a    i.e. 
     C est milieu de [BE] d’après 2.)
       A, C et D sont alignés et sachant que (AC) est  perpendiculaire à (BE) ; l’on peut dire que (AD) est perpendiculaire à (BE)
En résumé donc, ABDE est un losange.

3-3.)   SABDE = 2SABE = 2(BE*AC/2) = 21.               Donc              SABDE = 21 USI

3-4.)   L’équation de la droite (AD) est de la forme .
A Є (AD) =>    ie       -4 = -3   
D Є (AD) =>   i.e.         3 = 4
Alors en résolvant le système des deux équations trouvés précédemment, l’on obtiendra    et   = -1.   
                                                              Donc      (AD) : 

4-1.)   XI = (XA+XB)/2 = -2         et    YI = (YA+YB)/2 = -3/2
                                                             Donc    I (-2 ; -3/2)

4-2.)                            ... Ière méthode
Considérons le triangle ABE ; puisque I est milieu de [AB] d’après 4.)  Et C milieu de [BE] d’après 2.) ; Alors d’après la propriété de la droite des milieux, on a (IC)//(AE)
De plus, nous savons que (AE)//(BD) car ABDE est un parallélogramme d’après 3.)
Nous pouvons donc conclure que       (IC)//(BD)
                                   …2ème méthode
     Car I est milieu de [AB]
     Car C est le milieu de [BE].
Nous remarquons que ces deux fractions sont égales, et donc  d’après la conséquence du théorème de Thalès, l’on a (IC)//(AE) ; de plus (AE)//(BD) car ABDE est un parallélogramme d’après 3.)
                                                        Donc   (IC)//(BD)

4-3.)  Les équations des droites (IC), (BD) et (AE) sont respectivement de la forme   . Puisque d’après ce qui précède, celles-ci sont parallèles, il va s’en suivre que leurs coefficients directeurs seront égaux i.e.  .il nous reste ainsi à déterminer celle de (IC) et d’en déduire les autres.
I Є (IC) =>           i.e.         -3/2= -2
CЄ (IC) =>         ie         -1/2 = 1/2
Alors, la résolution du système de ces deux équations donne   
                                              Donc       (IC) :   

•     ; trouvons 
B Є (BD) =>       i.e.   
                                            Donc       (BD) : 
•      ; trouvons 
A Є (AE) =>     i.e.   
                                           Donc        (AE) : 

4-4.)  D’après 1.) ABC est rectangle en C avec le point I comme milieu de son hypoténuse [AB] ; et donc                 celui-ci représente le centre du cercle circonscrit à ABC

5-1.)  L’équation de (DE) est de la forme 
D Є (DE) =>        i.e.     
E Є (DE) =>         i.e.     
En résolvant, on a   
                                    Donc       (DE) : 

5-2.)  F est de coordonnées, le couple solution du système suivant :
(IC) :       
(DE) :     
                             Donc                 F (3 ; 1/2)

5-3.)  XD+XE /2 = 3 = XF         et       YD+YE /2 = 1/2 = YF
                             DONC           F est milieu de [DE]

6-1.)                            …Ière méthode
Considérons le triangle BDE ; F est milieu de [DE] d’a    près 5-3.) Et C est milieu de [BE] d’après 2.) ; Alors d’après la propriété de la droite des milieux,  (FC)//(BD). Ainsi
(FC)//(BD), d’après le théorème de Thalès :
    FD=FC car EBD, symétrique du triangle isocèle ABE par rapport à (BE) est isocèle en D. puisque FD = FC, on a donc       C Є (Γ1)
(Γ1) est de centre F et de rayon FD, i.e. passe par D, or F étant le milieu de [DE] d’après 5-3.) , il est clair que (Γ1) passe aussi par E.
                                                                                          Donc                    E Є (Γ1)
                                  …2ème méthode
Soit M(x ; y) Є (Γ1), alors l’équation du cercle de centre F et de rayon FD est :
(x-3)2 + (y-1/2)2 = 29/4, ainsi
(xC -3)2 + (yC-1/2)2 = 25/4 +1 = 29/4                    Donc       C Є (Γ1)
(xE -3)2 + (yE -1/2)2 = 1+ 25/4 = 29/4                    Donc      E Є (Γ1)

6-2.)  D’après ce qui précède, C Є (Γ1) et puisque (Γ) est le cercle circonscrit à ABC, il est clair que C Є (Γ) ;  d’où  C est un point d’intersection de (Γ) et (Γ1). En plus, on a :
     Et      i.e.     ,  d’où I, C et F sont alignés
En résumé donc                            C est l’unique point d’intersection

Je vous laisse poursuivre la fin de l’épreuve