Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

j'ai une question un peu stupide, mais par exemple si l'on nous donne l'ensemble :

$$E = \left \{ \left ( \frac{1}n, e^{-(logn)3/2}{} \right ), n \in N* \right \}$$

est ce que cela veut dire qu'il sagit de l'union des deux ensembles de chaque côté de la virgule ?

De plus, comment savoir si cet ensemble est dénombrable ?

Intuitivement je dirai qu'il l'est, et que c'est précisément la raison pour laquelle il ne peut pas contenir la moindre boule, et qu'ainsi il est ouvert.

J'essaye de faire les liens entre les différents concepts de mon cours mais celui ci, bien qu'il puisse paraitre évident, manque de consistance à mes yeux dans le sens ou je ne sais pas comment prouver qu'il existe une bijection entre ce set et N.

De plus, puis je affirmer que comme la limite quand n tend vers l'infini de ce set n'est pas contenue dans E, E ne peut pas être fermé ?

Merci d'avance !

F

Bonjour à tous !!

J'espère que vous allez bien, je me permets aujourd'hui de venir avec de nouvelles questions. Mon problème est que je ne saisis pas certaines nuances ce qui m'a conduit à commettre des erreurs, et comme aucune correction n'est expliquée je vous avoue que cela ne m'avance pas énormément.

1) Soit une matrice A 7x6, dont les trois dernières colonnes sont linéairement dépendantes, alors :
       -> le rang de A est supérieur ou égal à 2
       -> inférieur ou égal à 5
       -> égal à 3
       -> égal à 4
je ne comprends pas pourquoi est ce que la bonne réponse est la réponse "inférieur ou égal à 5". Selon moi, A étant une matrice à 6 colonnes, elle peut au maximum avoir 6 positions de pivot, or on dit que ses trois dernières colonnes sont linéairement dépendantes, par conséquent cela réduit le nombre de colonnes pivot à 4 selon moi, pas à quelque chose de possiblement égal à 5.

Merci de me dire si je n'ai décidément rien compris haha

2) Soit A nxn et P nxn telle que chaque colonne de P est un eigenvector de A. Alors il est toujours vrai que AP = PD pour une matrice diagonale D.

Est ce que donc la seule matrice D respectant ces conditions est la matrice diagonale constituée des valeurs propres de la matrice A ?

3) Soit A une matrice mxn telle que Ax = b a au moins une solution pour tout b de R^m.  Alors il est toujours vrai que :
       * dim (col(A^T)) = n
       * A^Ty 0 has a unique solution
       * dim(NulA) = 0
       * A^Ty = c a au moins une solution pour tout c appartenant à Rⁿ

Alors là j'avoue avoir énormément hésite entre la deuxieme et la dernière.

Selon moi, ce qui est dit dans l'énoncé sous entend que le rang de A est égal à m qui sera également égale au rang de A^T. Ainsi la dimension de son Kernel est égale à 0, et contient donc l'unique élément 0, ce qui pour moi explique pourquoi la deuxieme est vraie, mais dans ce cas, pourquoi pas la 4e car selon moi elles sont logiquement équivalentes ?

4) Soit A une matrice mxn dont les entrées ne sont pas toutes 0, et soit b dans R^m , Alors il est toujours vrai que Ax = Ay i x et y sont deux solutions au sens des moindres carrés de Ax = b.

Je désirai juste ici etre sure de la justesse de mon raisonnement ; est ce qu'on assume cela vrai pour la raison que l'écart quadratique trouvé entre la solution au sens des MC (qui correspond au vecteur dans l'espace colonne de A le plus "proche" de b, je crois) doit etre conservé quel que soit la solution.
Mais cela n'induit pas que cette solution est unique n'est ce pas ?

5) Soient A et B deux matrices diagonalisable 3x3, soit {u1 , u2 , u3} une base de R3 telle que
    a) les eigenspaces de A sont E1 = span {u1 , u2} et E2 = span {u3}
    b) Bu2 = - u2 et nul(B) = span {u1 , u3} // ce qui pour moi veut dire que -1 est valeur propre de B, ainsi que 0//

Ce que je ne COMPRENDS PAS (oui j'avoue que cette question m'a un peu énervée haha) c'est pourquoi est ce qu'il est immédiatement affirmé dans la correction : les matrices AB et A+B sont toujours diagonalisables. Alors que selon moi, la matrice AB l'est mais pas forcément A + B.

Voilà voilà, désolée c'est absolument immense, j'espère que certain(e)s d'entre vous auront eu le courage de tout lire jusqu'au bout,

en tout cas merci d'avance !

F

Bonjour !

Je me permets de venir vers vous car je suis face à quelques questions auxquelles je ne parviens pas à trouver de réponse dans mon cours (j'avoue qu'à l'approche des examens je teste un peu les limites de ma compréhension du cours haha).

Si on a une fonction [a,b] -> R :

1) est ce que l'on peut dire que tout point de l'intervalle fermé borné [a, b] est atteint par cette fonction ?

2) est ce que si f est croissante sur ce même intervalle, elle y est intégrable, et si oui pourquoi ?

3) on dit que si une fonction est continue sur un intervalle fermé borné, alors elle y est intégrable.
      => par contraposée, est ce que si elle n'y est pas intégrable elle n'y est pas continue ?
      => est ce qu'intégrabilité implique continuité ?
      => y a t 'il d'autres critères d'intégrabilité (autre que l'égalité des sommes de darboux également)

4) est ce que si f est bornée sur I = [a, b ] , elle est intégrable sur I ?

Merci d'avance !!

Bonjour,

Je me pose une question sur la notion d'espaces ligne et colonne.

Etant donné que selon moi les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas les relations de dépendance linéaire entre les colonnes mais celles entre les lignes, oui, je ne comprends pas comment est ce que Im(A) peut etre égal à (Col(A))T.

Puisque selon moi comme vecteurs de la base de Im A on peut prendre les vecteurs Linéairement indépendants de la matrice initiale, de la matrice échelonnée ou de la matrice échelonnée réduite, mais pas pour les vecteurs de base de l'espace colonne, ou si j'ai bien compris on doit prendre les vecteurs de la forme échelonnée.

Est ce que je raconte une grosse bêtise ? Merci d'avance en tout cas !

Est ce que la transposée de l'espace colonne d'une matrice est égale à l'espace colonne de la transposée d'une matrice, et donc à son espace ligne ?

Je me pose la question suite à la lecture de l'affirmation suivante :

Soit A n.n et h un réel non nul. Si Ax = 0 a exactement 1 solution, alors le set des colonnes de (hA)^T engendre Rn.

Ainsi, pour moi comme Col((hA)^T) = Nul(A), ce n'est pas logique car si Ax = 0 a exactement une solution, cela veut dire que Nul(A) = {0} et donc que (Col(A)) = Rn .

Bonsoir à tous !

Je suis face à une incompréhension un peu casse tête

dans un vrai faux d'algèbre, il y avait l'affirmation suivante :

'Soit W un sous espace vectoriel de Rⁿ si un vecteur x n'appartient pas à W, alors x - proj_Wx est non nul."

J'ai dit que c'était vrai car pour moi on a que cette différence est égale en vecteur à la distance séparant x de sa projection orthogonale dans W, et que si x n'appartient pas à W, alors précisément il sera "éloigné" de W, mon raisonnement est il donc totalement faux ?

Merci d'avance !

F