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#1 Entraide (supérieur) » Développement asymptotique » 11-08-2019 13:36:27
- Max_MPSI
- Réponses : 2
Bonjour,
J'ai des difficultés avec cet exercice,
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on définit la fonction [tex]f_{n} [/tex] de [0,1] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] par
[tex]f_{n} = x^{n} -nx + 1[/tex]
1. Montrer que l'équation [tex]f_{n} =0[/tex] admet une unique solution dans [0,1] (On désigne cette unique solution par [tex]x_{n}[/tex])
2. Etudier le sens de variation de [tex](x_{n})[/tex]
3. En déduire que la suite [tex](x_{n})[/tex] est convergente et déterminer sa limite
4. Déterminer un équivalent de la suite [tex](x_{n})[/tex]
5. Déterminer un développement asymptotique à deux termes de la suite [tex](x_{n})[/tex]
Alors j'ai pas eu de problèmes pour les 4 premières questions, j'ai trouvé que la suite est décroissante, admet 0 comme limite et est équivalente à [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Mais j'ai du mal pour la dernière question.
J'ai posé [tex]y_{n}=x_{n}-\frac{1}{n}[/tex] tel que [tex] y_{n}=o(\frac{1}{n})[/tex] et je me sers du fait que [tex]f_{n}(x_n)=0[/tex] et j'obtient l'égalité [tex]ny_{n}=(y_{n}+\frac{1}{n})^{n}[/tex]. Bon jusqu'ici rien d’impressionnant, ensuite j'ai essayé de travailler cette expression, je me doute qu'il faut que j'utilise les développements limités mais mes tentatives n'aboutissent pas à grand chose...
Suis-je sur la bonne voie ou à côté de la plaque ?
#2 Re : Entraide (supérieur) » Somme et Produit » 29-10-2018 18:13:35
Ok ça marche merci encore !
#3 Re : Entraide (supérieur) » Somme et Produit » 28-10-2018 12:07:50
Eh bien un grand merci à vous deux j'ai retrouvé l'expression demandée. Je n'avais pas remarqué que l'expression de [tex]f'(x)[/tex] était la formule d'une somme géométrique déguisée et c'est effectivement plus "simple" à partir de là.
Juste une dernière question Aviateur comment avez vous eu l'idée de poser [tex]f(x)=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1) ^k (1-x)^k /k[/tex] ?
#4 Re : Entraide (supérieur) » Somme et Produit » 27-10-2018 16:10:42
Merci Aviateur, j'ai pu retrouver votre résultat pour la question 1, effectivement je n'avais pas du tout songer aux coefficients binomiaux.
Par contre pour la deuxième question j'ai suivi votre conseil et je suis arrivé à cette expression là
[tex]f'(x) = \frac{1}{x-1}\times(x^n-1)[/tex]
Mais pour trouver une primitive ...
De plus si je trouvais une expression simplifier de [tex]f(x)[/tex] quelle est la valeur de [tex]x[/tex] à remplacer dans l'expression
[tex]f(x)=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1) ^k (1-x)^k /k[/tex] pour retrouver [tex]\sum_{k=1}^n\binom nk\times \frac{(-1)^{k+1}}{k} [/tex] ?
Par ailleurs, merci Fred pour l'astuce.
#5 Entraide (supérieur) » Somme et Produit » 26-10-2018 15:42:04
- Max_MPSI
- Réponses : 10
Bonjour, je rencontre des difficultés sur les questions suivantes
1) Calculer pour [tex]n,p \in \mathbb{N^*},[/tex] la somme [tex] \sum_{i=0}^n(\Pi_{j=1}^p (i+j))[/tex]
2) Montrer que pout tout [tex]n \in \mathbb{N^*}[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^n(\frac{n}{k})\times \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} [/tex]
Pour la 1) j'ai abouti sur cette expression : [tex]p! + \frac{(p+1)!}{1!} + \frac{(p+2)!}{2!} + ... + \frac{(p+n)!}{n!}[/tex] et donc je vois pas trop comment la simplifier ^^.
Pour la 2) je sais qu'il faut faire une récurrence mais je ne vois absolument pas la démarche à suivre.
Merci d'avance.
PS : ce n'est pas [tex]\frac{n}{k}[/tex] mais un coefficient binomial 'k parmi n'
#6 Re : Entraide (supérieur) » Montrer une inégalité » 07-09-2018 20:47:09
Eh bien Fred merci beaucoup, grâce à votre aide j'ai pu résoudre cette question.
#7 Entraide (supérieur) » Montrer une inégalité » 05-09-2018 19:47:15
- Max_MPSI
- Réponses : 2
Bonjour, après avoir passé plusieurs heures sur la même question sans avoir rien de concret j'aimerais avoir une petite piste sur cette question:
[tex] \ x_{n+2}\ =\frac{1}{3}\ x_{n+1}\ + \frac{1}{3}\ x_{n} [/tex]
On pose : [tex] \ M_{n}\ = \ max(\frac{3}{2}\ |x_{n+1}|, | x_{n}|) [/tex]
Montrer que [tex] \forall n\in\mathbb{N}, \ M_{n+1}\ ≤\frac{5}{6}\ M_{n}\ [/tex]
Je connais la double inégalité triangulaire et la formule [tex] \ max(a, b)\ [/tex] mais j'ai beau essayé, je n'y arrive pas je vous remercie d'avance.
PS : Merci à yoshi pour son explication au Latex
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