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Max_MPSI

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Somme et Produit

Bonjour, je rencontre des difficultés sur les questions suivantes

1) Calculer pour [tex]n,p \in \mathbb{N^*},[/tex] la somme [tex]  \sum_{i=0}^n(\Pi_{j=1}^p (i+j))[/tex]
2) Montrer que pout tout [tex]n \in \mathbb{N^*}[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^n(\frac{n}{k})\times \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} [/tex]

Pour la 1) j'ai abouti sur cette expression : [tex]p! + \frac{(p+1)!}{1!} + \frac{(p+2)!}{2!} + ... + \frac{(p+n)!}{n!}[/tex] et donc je vois pas trop comment la simplifier ^^.

Pour la 2) je sais qu'il faut faire une récurrence mais je ne vois absolument pas la démarche à suivre.

Merci d'avance.

PS : ce n'est pas [tex]\frac{n}{k}[/tex] mais un coefficient binomial 'k parmi n'

aviateur

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Re : Somme et Produit

Bonjour
Si dans un ensemble de n+p+1  billes,  j'en ai   n  rouges et le reste bleues alors le nombre de sous-ensemble  de n  billes  vaut  $C_{n+p+1}^n$
Si on fait une partition de ces sous ensembles en fonction du nombres de rouges (ou de bleus) qu'il contiennent on obtient
$C_p^0 + C_{p+1}^1+...C_{p+n}^n$
Or ça c'est exactement la somme que tu as obtenu divisé par p!
D'où le  résultat  $p! C_{n+p+1}^n=  $.  D'autre part si tu dénombres parmi c'est sous-ensembles en fonction du nombres deceux qui on
n  rouges ,  puis n-1 rouges... tu trouves que ça fait $C_p^0+C_{p+1}^1+....=(n+p+1)! /n! /(p+1)$

aviateur

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Re : Somme et Produit

Pour le deuxième  on peut considérer la fonction $f(x)=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1) ^k (1-x)^k /k  $
en la dérivant  et puis grâce à la formule du binôme simplifier puis réintégrer.

Fred

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Re : Somme et Produit

Juste pour préciser pour Max  : Aviateur note les coefficients binomiaux  $ C^p_n $ là où tu utilises
$ \binom np $ ie \binom np si tu veux le coder en LaTeX une prochaine fois.

F

Max_MPSI

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Re : Somme et Produit

Merci Aviateur, j'ai pu retrouver votre résultat pour la question 1, effectivement je n'avais pas du tout songer aux coefficients binomiaux.
Par contre pour la deuxième question j'ai suivi votre conseil et je suis arrivé à cette expression là
[tex]f'(x) = \frac{1}{x-1}\times(x^n-1)[/tex]
Mais pour trouver une primitive ...
De plus si je trouvais une expression simplifier de [tex]f(x)[/tex] quelle est la valeur de [tex]x[/tex] à remplacer dans l'expression
[tex]f(x)=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1) ^k (1-x)^k /k[/tex] pour retrouver [tex]\sum_{k=1}^n\binom nk\times \frac{(-1)^{k+1}}{k} [/tex] ?

Par ailleurs, merci Fred pour l'astuce.

Fred

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Re : Somme et Produit

Re,

  Il n'a pas l'air si facile ton exo. Voici peut-être une piste :

1. Il a l'air plus facile de calculer une somme proche, mais avec $1/(k+1)$ au lieu de $1/k$. Précisément, je pense que la méthode d'Aviateur te permet de calculer
$$\sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k+1}}{k+1}.$$
Précisément, pose $f(x)=\sum_{k=1}^n \binom nk x^k=(1+x)^n-1$.
Ensuite tu intègres entre $0$ et $-1$. Tu trouves que
$$\sum_{k=1}^n \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}=\int_0^{-1} \left((1+t)^n-1\right)dt$$
intégrale que tu sais calculer.

2. Connaissant la valeur de cette somme, tu peux calculer celle de la somme demandée en faisant une récurrence, et en utilisant la propriété de Pascal des coefficients binomiaux.

Je n'ai vérifié aucun calcul!

F.

aviateur

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Re : Somme et Produit

Bonjour
Je ne sais pas ce que propose Fred mais on dirait que c'est une variante. Je te propose de regarder aussi.
Sinon je reviens sur mon idée (à vérifier en détail) mais il me semble que ça  marche.
[tex]f'(x)=(1-x^n)/(1-x)=\sum_{p=0}^{n-1} x^p,
[/tex]
Cela s'intègre facilement.
Tu obtiens une nouvelle expression de f(x) à  un constante près.
Tu utilises f(1)=0   pour obtenir cette constante. Ensuite l'égalité cherché  c'est la valeur de f(0).

C'est vrai qu'on pourrait penser à faire une récurrence mais je ne suis pas sûr que c'est plus facile.

Dernière modification par aviateur (28-10-2018 09:18:05)

Fred

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Re : Somme et Produit

Re-

  Je n'avais pas suivi les détails d'Aviateur et avait cherché une solution alternative, mais effectivement, c'est beaucoup plus clair!

A+
Fred.

Max_MPSI

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Re : Somme et Produit

Eh bien un grand merci à vous deux j'ai retrouvé l'expression demandée. Je n'avais pas remarqué que l'expression de [tex]f'(x)[/tex] était la formule d'une somme géométrique déguisée et c'est effectivement plus "simple" à partir de là.
Juste une dernière question Aviateur comment avez vous eu l'idée de poser [tex]f(x)=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1) ^k (1-x)^k /k[/tex] ?

aviateur

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Re : Somme et Produit

Bonjour
Une formule faisant intervenir les coefficients binomiaux est quelque part issue  de la formule du binôme.
Si tu écris  (1+x)^n avec la formule du binôme tu peux la dériver (ou l'intégrer)  de deux façons: à partir de l'expression de départ ou de la forme développée.
Ici l'idée est de se débarrasser du 1/k, donc l'idée c'est d'introduire (1-x)^k   donc en dérivant le k disparait  ( je ne sais plus si j'ai essayé x^k au lie de (1-x)^k mais de tout façon quand c'est comme ça faut chercher un peu.)

Max_MPSI

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Re : Somme et Produit

Ok ça marche merci encore !