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Max_MPSI

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Montrer une inégalité

Bonjour, après avoir passé plusieurs heures sur la même question sans avoir rien de concret j'aimerais avoir une petite piste sur cette question:

[tex] \ x_{n+2}\ =\frac{1}{3}\ x_{n+1}\ + \frac{1}{3}\ x_{n} [/tex]

On pose : [tex] \ M_{n}\ = \ max(\frac{3}{2}\ |x_{n+1}|, | x_{n}|) [/tex]

Montrer que [tex] \forall n\in\mathbb{N}, \ M_{n+1}\ ≤\frac{5}{6}\ M_{n}\  [/tex]

Je connais la double inégalité triangulaire et la formule [tex] \ max(a, b)\  [/tex] mais j'ai beau essayé, je n'y arrive pas je vous remercie d'avance.

PS : Merci à yoshi pour son explication au Latex

Fred

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Re : Montrer une inégalité

Bonsoir,

  Comme $M_{n+1}$ est défini comme un max, tu as deux choses à démontrer :
1. $\frac 32 |x_{n+2}|\leq \frac56 M_n$

2. $|x_{n+1}|\leq \frac 56 M_n$.

Je vais te laisser le deuxième point, qui est le plus facile, et qui est juste une conséquence du fait que $15/12>1$.
Pour le point 1, d'après la formule de récurrence et l'inégalité triangulaire, tu as

$$\frac 32 |x_{n+2}|\leq \frac 12 |x_{n+1}|+\frac 12 |x_n|.$$

Maintenant, tu sais que $|x_{n+1}|\leq \frac 23 M_n$ et $|x_n|\leq M_n$.
Je te laisse terminer...

F.

Max_MPSI

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Re : Montrer une inégalité

Eh bien Fred merci beaucoup, grâce à votre aide j'ai pu résoudre cette question.