Voici quelques énigmes où il faudra utiliser un peu de géométrie pour résoudre le problème posé ...
Une question de périmètre
Dans un grand triangle de périmètre 19 cm, on trace trois segments joignant chaque sommet à
un point du côté opposé, comme sur la figure ci-dessous :
Ces trois segments partagent le grand triangle en 3 quadrilatères et 4 triangles.
La somme des périmètres des 3 quadrilatères est 25cm. La somme des périmètres
des 4 triangles est 20 cm. Quelle est la somme des longueurs
des trois segments ajoutés ?
Notons $L$ la somme des longueurs des segments ajoutés.
Alors, lorsqu'on fait la somme des périmètres des 3 quadrilatères et des 4 triangles,
on fait la somme des longueurs des côtés du grand triangle, et deux fois la somme
des longueurs des trois segments. En effet, chaque segment se décompose en 3 parties.
Chacune de ces parties est un côté d'un petit triangle et d'un quadrilatère. Sa longueur
est comptée deux fois lorsqu'on fait la somme des longueurs des quadrilatères et petits triangles.
On a donc l'équation :
$$19+2L=20+25$$
ce qui donne $L=13$.
Quelle est l'aire de ce rectangle ?
Saurez-vous déterminer l'aire du rectangle dans la figure ci-dessous ?
Introduisons des points supplémentaires comme sur la figure ci-dessous :
On note aussi $r$ le rayon du demi-cercle et $x$ la distance $GD$. On remarque que l'aire du rectangle est $r\times (r+x)$.
Voici une solution utilisant les triangles semblables : Le triangle $BCE$ est rectangle en $C.$
Les triangles $BCE$ et $CBD$ ayant les mêmes angles sont donc semblables. Leurs côtés ont des longueurs proportionnelles, ici :
$$\frac{BE}{BC} = \frac{BC}{BD}.$$
On obtient donc
$$ \frac{2r}{6} = \frac{6}{x + r}$$
ce qui donne
$$r(x+r)=18.$$
L'aire du rectangle est donc $18\ \textrm{cm}^2.$
Voici une autre solution, à l'aide du théorème de Pythagore. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $BDC$ rectangle en $D,$ on trouve
$$DC^2+DB^2=6^2=36.$$
Écrivant $DB=r+x$, on obtient
$$DC^2+(r+x)^2=6^2=36.$$
En développant le carré, on trouve
$$DC^2+r^2+2rx+x^2=36.$$
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $CDG$ rectangle en $D,$ on a
$$DC^2+DG^2=GC^2$$
c'est-à-dire
$$DC^2+x^2=r^2.$$
En faisant la différence des deux équations obtenues, on trouve
$$r^2+2rx=36-r^2.$$
Ceci donne alors
$$2r^2+2rx=36$$
soit finalement
$$r(r+x)=18.$$
L'aire du rectangle est donc $18\ \textrm{cm}^2.$
Des pièces à bien placer !
On dispose de 6 pièces de monnaie identiques. Comment les disposer sur une table, sans les superposer, pour que toute droite qui passe par le centre d'une des pièces rencontre au moins une autre pièce ?
Il suffit de les placer tangentes deux à deux en hexagone comme sur le dessin ci-dessus.
Marie-Michèle la jardinière
Marie-Michèle la jardinière mathématicienne vous propose un défi : comment disposer 15 arbustes pour réaliser 6 rangées de 5 arbres. Impossible, impossible ?
Il suffit de les aligner comme sur la figure ci-dessous :
En fait, si l'on prend 6 droites, 2 à 2 non parallèles, et qui ne se coupent jamais à 3 ou plus en un même point,
il y a 15 points d'intersection. Il suffit de disposer les arbres aux points d'intersection de ces droites.
51 points
On place 51 points au hasard dans un un carré de coté 7 cm. Y-a-t'il toujours un cercle de rayon 1 cm qui contienne au moins 3 de ces points ?
Énigme postée par Totomm sur le forum
On va d'abord recouvrir le carré par 25 cercles de rayon 1cm. Pour cela, on peut commencer par remarquer que $5\times\sqrt 2>7$.
Ainsi, on peut recouvrir le carré de côté 7cm par $5\times 5=25$ carrés de côté $\sqrt 2cm$. Les cercles circonscrits à ces carrés
recouvrent le grand carré, et sont de rayon exactement égal à 1cm.
Maintenant, si aucun de ces cercles ne contient 3 points, alors ils en contiennent tous au plus 2, et il y aurait au plus
$2\times 25=50$ points, ce qui n'est pas le cas !
L'ile du pendu
Se promenant au bord de la mer, Véro trouve un parchemin dans une bouteille jetée à la mer. Dessus il est écrit : "Rends-toi à l'ile du Pendu. Tu verras sur cette ile un chêne et un érable. Tu verras aussi une potence où les traîtres étaient pendus. A partir de la potence, dirige-toi vers l'érable en comptant tes pas. A l'érable, tourne sur ta droite d'un quart de tour et marche le même nombre de pas. Plante un pieu, et retourne à la potence. Marche en direction du chêne en comptant tes pas. Au chêne, tourne sur ta gauche d'un quart de tour et marche le même nombre de pas. Plante un pieu. A mi-chemin entre les pieux, tu trouveras le trésor."
Intriguée, Véro se rend à l'ile du pendu, trouve le chêne et l'érable, mais à son grand désespoir, la potence a disparu. Folle de rage, elle creuse au hasard, mais ne trouve rien. Pourtant, le trésor est là. Saurez-vous l'aider à le trouver ?
Vous sauverez Véro en remarquant que l'emplacement de la potence n'a pas d'influence sur le point que l'on trouve au final. Regardez le dessin suivant : la potence a été placée à deux endroits différents, $P_1$ et $P_2$. En suivant toute la démarche indiquée dans le parchemin, on trouve le même point!
Expliquons géométriquement ce fait. On note $P$ la potence, $C$ le chêne, $E$ l'érable, $T$ le trésor, $J$ le premier pieu, $K$ le second. On se place dans le repère suivant : $C$ est le centre du repère, $(CE)$ est l'axe des abscisses, et le repère choisi est orthonormé. $E$ a pour coordonnées $(a,0),$ et $P(x,y)$ ($x$ et $y$ sont inconnues). $K$ est obtenu à partir de $P$ par rotation de centre $C$ et d'angle $-\pi/2.$ Ses coordonnées sont donc $K(y,-x).$ $J$ est obtenu à partir de $P$ par rotation de centre $E$ et d'angle $\pi/2.$ Ses coordonnées sont donc $J(a-y,x-a).$ Les coordonnées de $T$ milieu de $[KJ]$ sont donc $T(a/2,-a/2).$ Cela ne dépend pas des coordonnées de la potence.
Pour Véro, il suffit donc de prendre n'importe quel point de l'ile pour point de départ. Le plus facile est encore de prendre un des deux arbres!
