Égalités étranges!

Avec un peu d'astuce, un bon matheux peut vous démontrer à peu près n'importe quoi! A vous de retrouver l'erreur !

Pour tout entier naturel $n,$ $n=n+1$

Nous allons démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $n=n+1.$ Pour cela, commençons par écrire une identité remarquable bien connue : $$(n+1)^2=n^2+2n+1.$$ On soustrait $2n+1$ à chacun de ces deux membres : $$(n+1)^2-(2n+1)=n^2.$$ Puis on soustrait encore $n(2n+1)$ à ces deux membres, et on ajoute $(2n+1)^2/4$ : $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\frac{(2n+1)^2}4=n^2-n(2n+1)+\frac{(2n+1)^2}4.$$ Les 2 membres sont désormais des carrés parfaits, et peuvent s'écrire : $$\left[(n+1)-\frac{2n+1}2\right]^2=\left[n-\frac{2n+1}2\right]^2.$$ On prend la racine carré de chacun des membres : $$(n+1)-\frac{2n+1}2=n-\frac{2n+1}2.$$ En ajoutant $(2n+1)/2$, on trouve bien $n=n+1.$

Alors, où est l'erreur???

$1/8>1/4$

Nous allons démontrer que 1/8>1/4. Pour cela, rappelons la propriété suivante des logarithmes, qui sera utile dans la suite : si $x$ est un réel positif, et $n$ un entier naturel, alors $$\ln(x^n)=n\ln(x).$$ On part de l'inégalité $3>2.$ On la multiplie par $\ln(1/2)$ : $$3\ln(1/2)>2\ln(1/2).$$ Avec le rappel, on obtient $$\ln\left((1/2)^3\right)>\ln\left(1/2)^2\right).$$ Maintenant, le logarithme est une fonction croissante, et donc $$\left(\frac 12\right)^3>\left(\frac 12\right)^2,$$ ce qui donne bien $$\frac 18>\frac 14.$$ Alors, où est l'erreur ???

Toute série converge vers $\pi$

Rappelons qu'une série est une somme infinie de nombres $$a_1+a_2+a_3+\cdots$$ et qu'une série est convergente si la suite $(S_n)$ définie par $$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$$ est convergente. Nous allons démontrer que toute série converge vers $\pi.$ On a en effet :

En ajoutant toutes ces égalités, on obtient l'égalité suivante : \begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+\cdots&=&\pi+(a_1-\pi)\\ &&-(a_1-\pi)+(a_1+a_2-\pi)\\ &&-(a_1+a_2-\pi)+(a_1+a_2+a_3-\pi)\\ &&-(a_1+a_2+a_3-\pi)+(a_1+a_2+a_3+a_4-\pi)+\cdots \end{eqnarray*} En regroupant les termes à droite (le 2ème et le 3ème, le 4ème et le 5ème,...), on obtient bien $$a_1+a_2+a_3+\cdots=\pi.$$ Etonnant non? Mais il y a encore plus fort! Si on choisit une série où $a_2=a_3=\cdots=0,$ on obtient : $$a_1=\pi.$$

Tout nombre réel est égal à $\pi$ ! Cette fois, c'est sûr, il y a une erreur ! Mais où est-elle ?

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