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Gus1234

Invité

Algèbre linéaire

Bonjour à tous,
Voici l’énoncé sur lequel j’aimerais de l’aide :
Soit f endomorphisme de E, E de dimension finie.
Démontrer que :
1) Ker(f) = Ker(f^2) => Im(f) inter Kerf(f) = {0}
2) Im(f) inter Kerf(f) = {0} => E = Im(f) + Ker (f)
3) E = Im(f) + Ker (f) => Im(f) = Im(f^2)
4) Im(f) = Im(f^2) => Ker(f) = Ker(f^2)
5) Que peut-on conclure de ces 4 premières questions
6) En déduire que, si f est un projecteur, alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ? Justifier.

J’ai réussi les 4 premières, quant à la 5e je pense que l’on peut dire que chaque implication devient une équivalence (je ne suis vraiment pas sûre) et pour la 6) j’ai dit que f = f^2 implique que Ker(f) = Ker(f^2) et avec les équivalences trouvées, on a le résultat.
Mon problème principal se trouve sur la dernière partie : je pense que la réciproque n’est pas toujours vraie mais je ne sais pas comment le prouver !!

Merci !

stfj

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Re : Algèbre linéaire

Bonjour,
j'ai commencé à me pencher sur cet exercice pour tenter d'apporter mon aide. J'ai démontré 1) à condition de lire "Ker(f) = Ker(f^2) => Im(f) inter Ker(f) = {0}". Il y a le même problème dans l'écriture de la question 2. Pouvez-vous, @Gus1234, corriger, svp? (merci d'avance) Au fait, n'hésitez pas à utiliser le bouton TEX en haut tout à fait à gauche de l'éditeur :par exemple, vous tapez sur TEX, puis sur f^2 à l'intérieur des crochets qui apparaissent et apparaît comme par magie [tex]f^2[/tex] ou [tex]f^{152}[/tex] avec {}  (essayez, vous comprendrez...) ou ce que vous voulez... Vu le type de question mathématique auxquelles vous vous intéressez, vous utiliserez un jour ou l'autre LATEX et mieux vaut tôt que tard :).
Au fait, avez-vous réfléchi à des endomorphismes "concrets" du plan R² qui illustreraient l'exercice, et que d'ailleurs vous pourriez dessiner dans un plan muni d'un repère cartésien? [c'est un bon conseil : faire le lien entre algèbre linéaire et géométrie élémentaire ;)]
Cordialement

Dernière modification par stfj (24-07-2022 21:17:38)

stfj

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Re : Algèbre linéaire

re-bonjour
1) peut s'écrire (i)=>(ii), 2) peut s'écrire (ii)=>(iii), 3) peut s'écrire (iii)=>(iv) et 4) peut s'écrire (iv)=>(i); c'est un type de raisonnement qu'on peut nommer "raisonnement circulaire" ou "raisonnement en boucle"[je ne me souviens plus bien du vocabulaire employé ]
Je vous laisse en déduire la réponse à 5) et lever votre doute au moins pour la question 5), @Gus1234
Quant au contre-exemple que vous cherchez et qui existe je crois, imaginez le plan euclidien R², comme au collège : d'abord vous projetez sur l'axe (x'x) puis vous faites la symétrie par rapport à l'axe (y'y); je parie que si vous appelez [tex]f[/tex] cette composée, vous trouverez que [tex]f:(x,y)->(-x,0)[/tex] et que [tex]f^2(x,y)=(x,0) [/tex] alors que [tex]f(x,y)=(-x,0)[/tex]. Vous tiendrez alors UN contre-exemple ;).
Si je n'ai pas raconté trop de bêtises et si vous accordez, @Gus1234, un peu de crédit à mes conseils, ne perdez jamais de vue qu'il n'y a NULLE DIFFéRENCE à faire entre GEOMETRIE ELEMENTAIRE et ALGEBRE LINEAIRE( juste l'ordre a de l'importance ;); d'abord la géométrie et ensuite l'algèbre linéaire)

Dernière modification par stfj (24-07-2022 16:02:27)