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stéphaneJ

Invité

tangente à un cercle et extension

bonjour. Je propose un exercice classique. Je m'interroge sur la façon de le présenter au mieux à des lycéens en exploitant leurs connaissances. Ce qui m'interpelle est donc l'explicitation de toutes les connaissances mises en jeu, éventuellement depuis leur classe de 6è.
Ex: on considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) le cercle (C) de rayon 10.
1) quelle est une équation de la tangente à (C) en (8,6) ?
2) montrer que (5,10) et (11,2) sont sur cette tangente.
3) quel est le point d'intersection de cette tangente avec l'axe (O,i)?
[ces trois premières questions sont accessibles à un bon élève de seconde. Qu'en est-il de la question 4 ci-dessous?]
4) quelle est l'équation de la tangente à l'ellipse en (8,3) à l'ellipse de grand axe 10 et de petit axe 5?
merci pour vos suggestions, etc...

Bernard-maths

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonsoir stéphaneJ !

Il ya beaucoup à dire ... Et pour moi, pour commencer, il faut être précis sur les données et le vocabulaire : au niveau des élèves, il ne doit pas y avoir de doute sur les objets considérés !

Ex: on considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) le cercle (C) de centre O et de rayon 10.
1) quelle est une équation de la tangente à (C) en au point (de coordonnées) (8,6) ?
2) montrer que les points (de coordonnées) (5,10) et (11,2) sont sur cette tangente.
3) quel est le point d'intersection de cette tangente avec l'axe (O,i)?
[ces trois premières questions sont accessibles à un bon élève de seconde. Qu'en est-il de la question 4 ci-dessous?]
4) quelle est l' une équation de la tangente à l'ellipse en au point (de coordonnées) (8,3) à l'ellipse de centre O, de grand axe horizontal 10 et de petit axe vertical 5?
merci pour vos suggestions, etc...

Ensuite, des idées à remuer, revoir ou découvrir avec les élèves ...

1°) Rappel de ce qu'est un cercle, des diverses équations ... Une tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point ...
Un point de coordonnées données est-il sur le cercle ? ( ... comme pour la droite en 3°) )

2°) Rappel équation de droite ... un point est sur une droite d'équation donné ssi "ses coordonnées vérifient cette équation" ...

3°) Caractéristiques des équations des axes ... intersection de 2 droites ...

4°) Là on est en terminale ! Equations d'une ellipse ! Tangente et normale en un point, comment ?

Voilà quelques idées qui me viennent à l'esprit, à adapter bien sur !

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-07-2022 18:17:58)

yoshi

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Re : tangente à un cercle et extension

Re,

Ex: on considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) le cercle (C) de rayon 10.

Déjà, il faudrait donner le centre du cercle.
Sinon, il faudra le déterminer, et il y a deux centres possibles O(0;0) et O'(16;0) s'il appartient à l'axe des abscisses...

ces trois premières questions sont accessibles à un bon élève de seconde.

Bin, pas aussi évident que ça...
Tangente à un cercle.
Cercle, tangente à un cercle définitions de Collège.
Si dans le prog de 2nde https://www.education.gouv.fr/bo/19/Spe … 01631A.htm
1. On parle beaucoup de parallélisme et de droites, je ne trouve pas grand chose  sur les droites perpendiculaires.
2. Rien sur les vecteurs normaux, juste les vecteurs directeurs...
3. Rien sur les conditions d'orthogonalité : produit scalaire nul, coefficients directeurs m et m' de deux droites perpendiculaires tels que mm'=-1...
Repère orthonormé.
Respecter les notations :
Soit c'est $(O,\vec i, \vec j)$, soit c'est (O, I, J) pas un mix des deux.
Axe (O,i)
Si c'est $(O, \vec i), c'est seulement un repère normé d'une droite.
Si c'est (O,I), je ne sais pas ce que c'est... Si, un bipoint ! Quel rapport ?

@Bernard :

Un point de coordonnées données est-il sur le cercle ? ( ... comme pour la droite en 3°) )

A condition de connaître les coordonnées du centre (!!), Term, oui (équation du cercle peut être utilisée) ; 2nde non.
En supposant que le centre est O, bien plus simple à tout niveau >= 3e : vérifier, si M est ce point, que OM=10 (calcul longueur --> 3e)

Questions 2 et 3. Pas de pb particulier
Q4 : Ellipse ? Boufre ! Les coniques et donc l'ellipse est-ce toujours au prog ? J'ai plus l'envie de vérifier... Et la tangente en un point de l'ellipse c'est du cours (et c'est pas si simple que ça).

@+

stfj

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Re : tangente à un cercle et extension

merci pour vos suggestions. Oups! Le centre du cercle que j'envisageais est bien l'origine. La question 4 est ouverte(pour un élève de lycée). L'ellipse (à nouveau de centre l'origine) peut éventuellement être envisagée (avec l'aide de l'enseignant) comme l'image du cercle par (x,y)->(x,0.5y). De là à envisager la tangente à l'ellipse comme l'image de la tangente au cercle par l'affinité, il n'y a qu'un pas. C'est une idée, qu'il restera ensuite à l'élève à mettre en forme par des calculs. J'ai pas essayé ces calculs, je me demande ce que ça donne... On est évidemment à chaque fois aux limites du programme OU on le dépasse largement; mais les "programmes" sont de tels carcans... Cordialement et encore merci

Dernière modification par stfj (24-07-2022 14:47:30)

stfj

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Re : tangente à un cercle et extension

Re bonjour,
Suis finalement allé au bout de mon idée : on trouve une équation de la tangente à l'ellipse en (8,3) qui est 8x+12y=100, ce qui est la bonne droite. [à réserver à des élèves assez doués néanmoins]

Bernard-maths

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonjour aux jumeaux ?

stéphaneJ est-il le jumeau de stfj ... ? Pour "m'amuser" j'ai construit la figure avec GeoGbra :

Bernard-maths

stfj

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Re : tangente à un cercle et extension

bonjour @Bernard-maths et merci beaucoup pour le joli et intéressant dessin; je l'avais fait aussi mais je n'ai pas trouvé le moyen de le faire apparaître ici. Au fait, OUi, je suis à le jumeau de StéphaneJ :).
Comme je suis sûrement un peu sadique avec moi-même comme avec les autres matheux, du coup, je me suis posé une question : comment se fait -il que les deux tangentes s'intersectent sur l'axe des abscisses ? (j'avoue ne pas m'être penché sur la question mais je suis sûr que l'un d'entre nous le fera et m'obligera à mon tour à m'y pencher.
Très cordialement,
Stéphane

Bernard-maths

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonjour stfj !

L'affinité est un petit régal d'homothétie, qui n'a pas de centre, mais un axe !

Ainsi l'ellipse se déduit du cercle par l'affinité d'axe (x'x), de direction (y'y) et de rapport 1/2 ... les x sont conservés, les y divisés par 2.

B étant l'homothétique de A, la tangente en A au cercle a pour homothétique la tangente en B à l'ellipse, et elles se coupent sur l'axe de l'affinité ... Il est vrai que j'ai connu ça en "Math-Elem" en 1965, et depuis ... disparition des programmes ?

Bonne recherche sur le net ! Par ex : https://www.frwiki.net/wiki/Affinit%C3% … 9matiques)

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-07-2022 15:33:01)

yoshi

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonjour stfj,

Ton intuition est la bonne : le point C de Bernard est invariant...
En lisant ton questionnement, je me suis retrouvé en l'année scolaire 2005/2006 dans ma Terminale MathElem (c'était le bon temps : 2e année de la mixité en Lycée. Pour décharger les 2 MathElem de 50 au Lycée de garçons de mon bled, il avait été demandé 5 volontaires garçons de chaque MathElem à 50, pour aller compléter la MathElem à 29 du Lycée d'Etat de jeunes-filles : j'en avais été... En fait, à l'arrivée 2 volontaires s'étaient désistés) Les pionnes nous foutaient une paix royale, les minettes avaient toutes la même blouse bleue avec le nom et la classe brodés en haut et à gauche. Nous, nous ne portions pas d'uniforme).
Bon revenons à nos moutons : j'ai vérifié si la mienne d'intuition était aussi bonne que la tienne...
Comme je n'ai pas retouché à cette notion depuis (ou alors de très très loin), je ne connaissais plus les propriétés, d'autant qu'il me semble qu'elle a disparu des programmes, j'ai usé de la facilité et suis aller chercher directement sur Google ce qu'on doit savoir sur les Affinités orthogonales : j'avais vu juste !

A toi de jouer maintenant... ;-)

@+

[EDIT] Ouh... qu'il est rapide l'ami Bernard : je me suis fait lâcher en beauté tel un simple Pogacar  dans la montée d'Hautacam...

Alors, j'ajoute un codicille deux cercles donnent la même ellipse selon qu'on prend comme rapport d'affinité a/b ou b/a (a demi grand axe et b demi petit axe, avec (FF') horizontal.

Bernard-maths

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonjour à tous !

J'ai ajouté : https://www.frwiki.net/wiki/Affinit%C3% … 9matiques)

stfj

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Re : tangente à un cercle et extension

merci @Bernard-maths et @yoshi pour le coup du point évidemment invariant par l'affinité; j'ai lu avec attention et presque quasi-rêverie les réflexions à 29 de @yoshi :))))
Il y a énormément de matière à cet exo; sous geogebra ou cabri, on pourrait faire varier le point A sur le cercle; les tangentes s'intersectant toujours sur l'axe (x'x) sauf pour A=i et B=0.5i auquel cas les tangentes s'intersectent à l'infini... Mais là, plus rien à voir avec les programmes actuels de lycée... même s'il y a des efforts louables de mathématiciens(-iennes) pour faire connaître la géométrie projective aux lycéennes...

Dernière modification par stfj (24-07-2022 16:29:36)

yoshi

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Re : tangente à un cercle et extension

Re,

Comment faire ? Mais comme ça :

Sur zupimages, choisir la ligne lien direct, copie/colle l'url dans ton post en l'encadrant par les balises Images : l'écran de la barre d'outils des messages entre TT et <>.

Recommandations :
1. Avant d'aller sur zupimages, utilise une taille raisonnable pour ton image avec une résolution maximum de 150 dpi (dots per inch, points par pouce).
2. Pas de drap de lit, brut de smartphone genre 1,20 m sur 0,80
3. Couleur si ça a du sens, sinon conversion en N&B

J'ai affiché ton image, fait une copie d'écran, l'ai collée dans la fenêtre de mon Photofiltre basique.
J'ai recadré, choisi 150 dpi et 6 cm de hauteur.
Après quoi, j'ai enregistré l'image en .png (bien meilleur que le .jpg) et je l'ai uploadée sur Zupimages...

Autre anecdote chez les nanas. Dans le bahut, il y aussi une classe de Philo et une de Sciences Ex, mixtes elles aussi., en tout 24/25 mecs au milieu de 75/80 nanas de Terminale et des surveillantes guère plus vieilles que nous. L'ambiance !
A la fin de l'année, les mecs avait organisé une procession dans la cour à la récré de 10 h : c'était l'enterrement de l'élève Polard un cartable posé sur 2 piquets, recouverts d'un tissu noir ! Nous étions rentrés en retard au cours suivant...
La procession avait duré 1/4 h : rien que des mecs. Toute nana qui avait voulu s'y joindre avait été alpaguée par les surveillantes...
Nous avions marqué notre passage !

@+

stfj

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Re : tangente à un cercle et extension

merci @yoshi[je sens que je vais rêver maths cette nuit...]
Cette illustration est mieux

Bernard-maths

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Re : tangente à un cercle et extension

Bonsoir à tous !

Ces propos échangés m'ont incité à réviser un peu les affinités ...

Je vous propose d'ouvrir une conversation dans les beaux problèmes de géométrie, pour quelques rappels !

"Les Affinités Géométriques, rappels et extensions"

A plus donc en ce lieu, Bernard-maths