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Siméon KOCH

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Suite quasi-convexe bornée

Bonjour tout le monde, je bloque sur une question depuis pas mal de temps.
Soit (an) une suite quasi-convexe bornée. On pose (bn) et (dn) les suites définies par pour tout n dans N, bn = a(n-1) - a(n) et
dn = a(n-1) + a(n+1) - 2a(n). On sait que les séries des bn et des dn convergent, reste à montrer leur égalité.
On peut montrer que  S[k=1 à n] (bk)-S[k=1 à (n-1)] (kdk) = n.bn. On veut donc montrer que lim(n.bn)=λ=0.
Pour ça je considère l'application strictement croissante φ : N -> N telle que |bφ(n)| soit décroissante. Je montre que n|bφ(n)| -> 0 mais j'aurais besoin de montrer qu'il existe un réel M tel que pour tout n dans N, φ(n)<= n.M (en tout cas ça suffirait) mais je bloque un peu...
Mais j'ai pas le sentiment que ce soit la bonne voie puisque si on considère M entier pour simplifier, je pourrais construire une sorte d'escalier avec ma suite |b(n)| tel que les marches sont de longueurs M, M+1, M+2, etc jusquà l'infini, sont croissantes et où chaque marche et en dessous de celle qui la précède. J'ai l'impression que ça va bloquer mais ça m'a lair pénible et puis c'est pas ce que je cherche.
Pourriez-vous donc m'aiguiller s'il-vous-plait (sans être trop précis je voudrais chercher un peu) ?

Dernière modification par Siméon KOCH (21-07-2022 23:47:18)