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fatii

Invité

écritures d'ensembles

salut , pourriez vous m'aider svp à savoir s'il y 'a une différence entre cette écriture  Im(f) := {f(x), x ∈ E} = {y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f(x)}
et cette écriture  Im(f) := {f(x), x ∈ E} = {y ∈ F  /x ∈ E, y = f(x)}, le quantificateur change qlq chose dans ca ?

Siméon KOCH

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Re : écritures d'ensembles

Salut, quand tu écris "Im(f) = {y ∈ F  /x ∈ E, y = f(x)}", tu dis que Im(f) c'est l'ensemble des y ∈ F tels que pour tout x dans E, y = f(x). Ce qui est faux à moins la plupart du temps non. En fait "|" signifie "tels que", il introduit une proposition vérifier par tes éléments de l'ensemble.

fatii

Invité

Re : écritures d'ensembles

est-ce-qu'on peut remplacer le symbole / qui signifie tel que par le quantificateur existensiel ?

MERCI.

Siméon KOCH

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Re : écritures d'ensembles

En fait dans cette écriture {y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f(x), "|" est remplacé par ":" mais on aurait très bien pu écrire {y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f(x)} où il est implicite que ce qui suit la localisation de tes éléments est une proposition. Ici on dit que parmi les éléments de F ce sont ceux qui sont image d'un x dans E par la fonction F. Donc le "|" n'est pas du tout équivalent à un "∃". Sinon {y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f(x)} et {y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f(x)} valent bien Im(f).

stfj

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Re : écritures d'ensembles

bonjour,
Soit [tex]E[/tex] et [tex]F[/tex] deux ensembles et soit [tex]f:E \to F[/tex]
Tout d'abord rappeler que le signe "[tex]:=[/tex]" signifie "on affecte". Donc "[tex]Im(f) := \{f(x), x ∈ E\} = \{y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f(x)\}[/tex]" se lit par exemple "[tex]Im(f)[/tex] désigne l'ensemble des [tex]f(x)[/tex] où [tex]x[/tex] est un élément de [tex]E[/tex], c'est-à-dire l'ensemble des éléments [tex]y[/tex] de [tex]F[/tex] de la forme [tex]y=f(x)[/tex] pour au moins un [tex]x[/tex] dans E". Il faut à tout prix, je crois, faire l'effort de l'exprimer en français -nous ne sommes pas des robots-. Quant à la deuxième écriture, sans le signe "il existe", je trouve qu'elle n'a pas de sens très clair.
La situation est paradoxale : je crois savoir que c'est Bourbaki qui a popularisé via ses élément les signes [tex]\forall \exists \nexists \lnot \land \lor \to \leftrightarrow \Rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow [/tex] mais à leurs corps défendant si j'ose dire. Quand on lit des Bourbaki [Dixmier, Godement, Dieudonné,  Cartan, ..., Skandalis,...], on ne peut être que frappé par le soin qu'ils apportent à s'exprimer le plus possible dans un français on ne peut plus clair. Leurs Eléments étaient destinés aux seuls mathématiciens professionnels mais quand ils s'adressent via leurs ouvrages didactiques aux apprenants, ils évitent à tout prix un "jargon" fait de symboles ésotériques réservés aux seuls initiés qui se sont ensuite parfois empressés sans discernement de les répandre dans un public auxquels ils n'étaient pas destinés.

Dernière modification par stfj (24-07-2022 22:10:00)