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Geom

Invité

équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour

J'analyse des données pour un travail de fin d'étude, dont le nuage de points donne une courbe d'équation y=x².
Mon but est de mesurer la distance qui sépare chaque donnée du nuage perpendiculairement à cette courbe. Je dois donc dans un premier temps trouver les coordonnées du point d'intersection I entre la courbe et la normale à la courbe passant par mon point de donnée H. Voici un schéma de ceci :

En intégrant l'équation de la normale, j'arrive à ceci : $i^3-(y_H-1)-x_H=0$
L'objectif est de trouver i (coordonnée x de I), qui me permettra facilement de trouver la coordonnée y de I (i²).
Je dois donc résoudre cette équation de 3ème degré. Pour ce faire, j'ai trouvé la méthode de Cardan mais elle ne fonctionne que si $\Delta$ n'est pas négatif sinon on obtient un résultat avec une racine carrée d'un nombre négatif.

Exemple : avec une donnée H (3;3,5) :  [tex]i^3-(y_H-1).i-x_H=0[/tex] devient [tex]i^3-(3,5-1).i-3=0[/tex], soit [tex]i^3-2,5i-3=0[/tex] En appliquant la méthode de Cardan, j'obtiens i=2 puis i²=4, donc I(2;4) ce qui graphiquement se révèle correct. Par contre avec H(1;4,5) qui devrait aussi me donner i=2, au cours de la méthode je dois effectuer [tex]\sqrt{-144,5}[/tex].

Comment dès lors continuer la méthode pour trouver le nombre réel 2 comme solution de l'équation ?
Sinon, y-a-t-il une autre méthode systématique (par formule applicable à Excel) pour résoudre cette équation de 3ème degré qui puisse me donner cette solution ?

D'avance merci pour vos réponses

yoshi

Modo Ferox

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour,

Ton i me perturbe : rien à voir avec le i des complexes ?...

Soit  H de coordonnées $(x_H\,;\,y_H)$
Soit I le point de la courbe de coordonnées $(x_I\,;\,y_I)$.
Si j'ai bien compris, tu cherches la longueur HI, sachant que (HI) est perpendiculaire en I à la tangente en I à la courbe ?
C'est bien ça ?
Je viens de faire les calculs de vérification pour le point  I(2;4) de la parabole : j'ai calculé l'équation de la tangente (T) en I à la parabole, puis les coordonnées de l'intersection a : y a un pb...
Alors, j'ai pris Geogebra et voilà :

I (2;4) et H(1 ; 4.5) placés, j'ai tracé la tangente (rouge) en I à la parabole (verte) et de H j'ai tracé la perpendiculaire à la tangente : elle ne passe pas par I..

@+

Pidelta

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour,

encore un qui poste partout

il a reçu une réponse sur un autre forum !!!

Geom

Invité

Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Rebonjour

Merci Yoshi, ton graphique m'a aidé à mieux visualiser les différentes fonctions, je ne connaissais pas Geogebra (les maths sont un peu loin pour moi, je suis un peu rouillé et pas à jour des outils sur internet).

@Pidelta : effectivement j'ai posté la même question sur un (seul) autre forum, afin d'avoir plus de chance d'obtenir des solutions à mon problème. Les réponses sur l'autre forum et sur celui-ci me sont toutes les deux utiles, et complémentaires. Désolé si cela dérange, mais personnellement je ne vois pas de mal à demander de l'aide à plusieurs personnes différentes.

Pour en revenir à mon problème, mon équation de base était effectivement erronée. L'équation correcte est $2i^3 + (1-2y_H)i - x_H=0$ ou pour éviter de confondre avec les nombres complexes $2a^3 + (1-2y_H)a - x_H=0$

Cependant j'ai toujours le même problème pour obtenir une solution dans certains cas avec Cardan, où j'obtiens une racine carré d'un nombre négatif dans le processus. Comment puis-je trouver une solution avec un nombre réel ?

Encore merci

Geom

Invité

Re : équation 3ème degré avec delta négatif

PS: Il va de soi que si j'obtiens une solution à mon problème sur l'autre forum je l'indiquerai ici, et vice-versa

Bernard-maths

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour à tous !

Je me suis dit ... Si I(i, i²), alors la tangente en I est : y - i² = 2i (x - i), coeff directeur 2i ! La normale en I a pour coeff directeur (-1/(2i)), et pour équation : y - i² = (-1/(2i)) (x - i) ...Si elle passe par H(xH, yH), alors on a l'équation en i :   yH - i² = (-1/(2i)) (xH - i) ...

Ce qui pour moi donne l'équation du 3ème degré en i : 2i³ + i (1 - 2yH) - xH = 0 ! C'est ce que Geom propose avec l'inconnue a !

Après ? Après, il faut suivre une méthode du type "Cardan" ... Voici une adresse de quelqu'un que j'ai croisé dans ma carrière, et que je n'ai pas revu : http://serge.mehl.free.fr/anx/equ_deg3.html

Bonne suite,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (10-07-2022 13:01:05)

yoshi

Modo Ferox

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

B'jour,

Oui, j'avais aussi fait ça hier...
Avec I(2;4) et H(1 ; 4,5)
L'équation de (T) la tangente en I était $y=4x-4$
L'équation de la perpendiculaire à (T) passant par H était  $y=-\frac 1 4 x+\frac{19}{4}$
Ce qui m'avait permis de vérifier que cette droite ne passait pas par I.
Ce qui avait fichu par terre la  proposition de calcul que je m'apprêtais à faire  : sans connaître les vraies coordonnées du point I, mes calculs ne servaient pas, et si je les connais, je n'ai pas besoin des mes calculs...
Cela dit à partir du moment où j'ai une valeur approchée de I, le langage Python possède un module decimal qui permet de moduler le nombre de décimales souhaitées (selon la quantité de RAM dont dispose sa machine) : 20, 100, 500, 1000, 10000... assez vite et c'est plus "simple" à utiliser qu'un tableur.
Voilà une solution approchée obtenue avec 31 décimales : 2.0597919701013207669637242336328 (calculée "bêtement" par dichotomie, j'aurais pu passer par la méthode de Newton).

La méthode qu'expose Bernard permet de se passer de l'intégration.

Quant à la résolution de l'équation du 3e degré, autre outil intéressant :
https://www.wolframalpha.com/input?i2d= … D-8x-1%3D0
3 solutions (imbuvables !) qui contiennent i (le i complexe) et pourtant les solutions sont des réels...
Pour voir la forme exacte des solutions (qui peuvent être probablement rendues plus simples), cliquer sur l'onglet Exacts forms

Pour les solutions step by step, Wolfram reporte cette option dans son module pro payant : 5,25 €/mois

@+

Dernière modification par yoshi (10-07-2022 12:21:29)

Bernard-maths

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

BonjourYoshi !

Oui la recherche d'une solution approchée m'a aussi occupé ! En fait j'ai tracé la fonction du 3ème degré associée, et je me suis rendu compte qu'il y avait une solution proche de i !? Mais on ne connaît pas i ... Et je suis trop occupé par les vacanciers ...

B-m

Black Jack

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour,

J'ai répondu à l'entièreté du problème ici :

https://www.maths-forum.com/superieur/e … 63115.html

Geom

Invité

Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour

Merci beaucoup à tous pour votre aide. Black Jack a effectivement apporté sur l'autre forum la solution que j'attendais à mon problème, à savoir comment trouver une solution qui soit un réel lorsque $\Delta <0$ :

"Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique
[tex]R1 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})[/tex]
[tex]R2 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})[/tex]
[tex]R3 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})[/tex]"

@Yoshi, WolframAlfa est très intéressant, merci, ça donne presque envie de payer pour voir la suite
@ Bernard-maths, j'avais déjà vu le lien que tu as indiqué dans mes précédentes recherche de solutions, mais je n'avais (et n'ai toujours pas compris sur cette page) comment résoudre la suite du problème quand $\Delta <0$ " à savoir ce que signifie ceci "L'application de la formule de Cardan amène à une solution X de la forme :

Cherchons un nombre dont le cube serait s + z sous la même forme a + b. Il vient, puisque ()2 = -1 :
a3 - 3ab2 + (3a2b - b3) = s + z

Il faut donc avoir a3 - 3ab2 = s et 3a2b - b3 = z et pour faire de même avec a - z, il suffirait de changer b en -b : la partie réelle est invariante.

La solution X serait ainsi de la forme : (a + b) + (a - b), soit x = 2a. C'est un nombre réel : la formule de Cardan fournit donc en fait systématiquement le zéro certain."

Mais grâce à Black Jack et sa solution, j'ai de toute façon ce dont j'ai besoin

Encore merci à tous

Bernard-maths

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour !

Bravo Black Jack ! C'est ce que je suggérais de voir sur le site de serge mehl, mais fallait faire les calculs !
Ici on a donc les 3 racines dans le cas général ...

J'ai par ailleurs cherché une méthode d'intersection de la parabole avec un cercle de centre H, en ajustant le rayon r pour qu'il devienne tangent en I(a, a²) à la parabole ... Je retombe sur une équation du 3ème degré !!!

Bonne suite,

Bernard-maths

Black Jack

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Rebonjour,

Il est utile de comprendre pourquoi, la résolution de l'équation donne 3 solutions ... pour savoir laquelle choisir.

Voila un dessin pour le cas H(1 ; 4,5)

Il y a bien 3 valeurs de a pour lesquelles on peut tracer, passant par H, une normale  à la courbe représentée par f(x) = x²
(en rouge sur le dessin)

2 de ces valeurs de a correspondent à un minimum local de la distance entre H et un point se baladant sur la courbe de f(x).
La 3ème valeur correspond à un maximum local de cette distance.

Quand on a trouvé les valeurs de "a" correspondant aux minima, il reste à calculer les longueurs entre H et les points (a ; a²) ... pour trouver la bonne valeur de a à choisir.

A priori, la valeur de "a" qui convient est la plus grande (positive) si l'abscisse de H est > 0
La valeur de "a" qui convient est la plus négative si l'abscisse de H est < 0
Et si l'abscisse de H est = 0 ... les 2 valeurs extrêmes de a conviennent.

yoshi

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Re,

Oui, vraiment bravo !
J'aurais dû y penser plus tôt, mais je dois rouiller (pourtant, la pluie se fait rare)
En fait, cette idée m'a traversé l'esprit très peu de temps avant de la voir exposée en pleine lumière par Black Jack et donc, il était trop tard.
De toutes façons, j'aurais dû chercher comment trouver les solutions : j'ai dû oublier la technique de résolution d'une telle équation du 3e degré...
Ô rage, ô désespoir, ô vieillesse ennemie, n'ai-je donc tant vécu que pour constater combien au fil du temps la mémoire s'effiloche ?

Aux moqueurs, je citerais Brassens (donc Corneille) :
               Le même cours des planètes
               Règle nos jours et nos nuits
               On m'a vu ce que vous êtes;
               Vous serez ce que je suis.

Bon, après cet intermède littéraire, je voudrais encore explorer une piste intéressante que m'a suggéré cet exposé de Black Jack :
soit I(a;a²) un point quelconque de la parabole, et un point précis $M(x_M\,;\, y_M)$ du nuage de points., calcul de HM² et recherche de sa valeur minimum...

Et dans l'après-midi, j'avais cherché (sans succès évident, ne trouvant pas le rapport) :
le Foyer F de la parabole a pour coordonnées (0;1/4), sa directrice (D) a comme équation y=-1/4 : le point I par définition est équidistant de F et (D).
Au passage, j'avais découvert un tracé de la tangente en I à la parabole :  P étant le projeté orthogonal de I sur l'axes des ordonnées, S son symétrique par rapport à l'origine, (SI) est la tangente cherchée. Ça m'avait ouvert des horizons, mais je n'avais pas poursuivi.
A tort peut-être, je vais essayer d'y revenir...

@+

Black Jack

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Rebonjour,

Une manière assez facile, sans passer par les tangentes et normales ...

Soit H(xH ; yH) et un point A(a ; a²) de la parabole.

La distance D = AH = sqrt[(xH-a)² + (yH-a²)²]

Cette distance sera minimum pour la même valeur de a que lorsque D² sera minimum.

Il suffit donc de rechercher la valeur de a qui rend f(a) = (xH-a)² + (yH-a²)² minimum.

C'est forcément pour une valeur de a telle que f '(a) = 0

f '(a) = -2*(xH-a) - 4a(yH-a²) = 0

soit 2a³ + a(1 - 2.yH) - xH = 0  (on retombe sur la même équation qu'en passant par tangente, normale ...)
****

Si on étudiait les variations de f(a) = (xH-a)² + (yH-a²)² ...
on trouve 3 extrema locaux, 2 minima et un maximum (aux abscisses données par l'équation 2a³ + a(1 - 2.yH) - xH = 0)

Il faut ensuite calculer les valeurs correspondantes de D² ... pour choisir la valeur de a qui correspond au minimum minimorum.

yoshi

Modo Ferox

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

RE,

$f '(a) = -2(x_H-a) - 4a(y_H-a²) = 0$

soit $2a³ + a(1 - 2y_H) - x_H = 0$ 
(on retombe sur la même équation qu'en passant par tangente, normale ...)

Ah bin, autant pour moi, j'espérais vaguement qu'on n'en revienne pas là...
Mais, point positif : les calculs ont l'air moins longs, encore que...

Merci de t'être donné la peine...

@+

Bernard-maths

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour à tous !

Vous donnez là la "fameuse équation" du 3ème degré, dont je parlais en #11 !

Et j'avais constaté des variations du même genre ...

Toutefois, l'affaire n'est pas "si simple", car le facteur (1 - 2yH), selon que yH < 0.5 ou > 0.5, joue un rôle sur le nombre de solution (me semble-t-il ?). En outre (pleine si possible d'un bon truc), le nuage de point se répartit, à priori (!) de part et d'autre de la parabole ...

Bernard-maths

Black Jack

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Re : équation 3ème degré avec delta négatif

Bonjour à tous !

Vous donnez là la "fameuse équation" du 3ème degré, dont je parlais en #11 !

Et j'avais constaté des variations du même genre ...

Toutefois, l'affaire n'est pas "si simple", car le facteur (1 - 2yH), selon que yH < 0.5 ou > 0.5, joue un rôle sur le nombre de solution (me semble-t-il ?). En outre (pleine si possible d'un bon truc), le nuage de point se répartit, à priori (!) de part et d'autre de la parabole ...

Bernard-maths

Bonjour,

Cela n'entraîne pas de difficultés supplémentaires.

- Soit l'équation a 3 solutions réelles ... dont une correspond au minimum de longueur cherché (et qu'on trouve comme indiqué dans les messages précédents)
- Soit l'équation a 1 solution réelle (et 2 complexes) ... et c'est la solution réelle qui correspond au point cherché.

Voila par exemple quelques cas de point H tels que l'équation n'a qu'une solution réelle ...

Pour résoudre l'équation dans le cas où il y a une seule solution réelle, la méthode est indiquée dans le lien que j'ai donné vers l'autre site.