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Antoine

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[Résolu] Integrale et changement de variable

soit l'integrale I(a,b)=intégrale de 0 à pi/2 dO/(a^2*(cos(O))^2+b^2*(sin(O))^2)^(1/2)
Le changement de variable imposé est :  u = (a^2*(cos(O))^2+b^2*(sin(O))^2)^(1/2)

J'obtient : I(a,b)=intégrale de a à b du/((b^2-u^2)(u^2-a^2))   (je ne suis pas sur du resultat)

un deuxieme changement de variable est imposé :  v = (a*b+u^2)/(2*u)
c'est là où je bloque, ayant effectué le changement de variable je trouve un truc tres compliqué.

A la fin je dois deduire que I(a,b) = I((a*b)^(1/2), (a+b)/2)

JJ

Invité

Re : [Résolu] Integrale et changement de variable

Le premier résultat n'est pas bon. Il fallait trouver :
I(a,b)=intégrale de a à b du/((b^2-u^2)(u^2-a^2))^(1/2)

Antoine

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Re : [Résolu] Integrale et changement de variable

oui exact j'avais mal recopié
merci pur la confirmation

Antoine

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Re : [Résolu] Integrale et changement de variable

Je galere trop pour la suite
le changement de variable : v = (a*b+u^2)/(2*u) complique tout et je n'arrive pas à montrer que I(a,b) = I((a*b)^(1/2), (a+b)/2)

JJ

Invité

Re : [Résolu] Integrale et changement de variable

il faut d'abord que vous étudiez et représentiez graphiquement la fonction
v(u)=(ab/2u)+(u/2)
en marquant bien sur le graphe les valeurs de v pour u=a, pour u=b et pour u=racine(ab). (rechercher la valeur minimum de v)
Ceci afin de voir et comprendre pourquoi, lorsqu'on intègre relativement à v, on est obligé de séprarer l'intégrale en deux intégrales distinctes :
I(a,b) = I1  + I2
I1 = intégrale pour v rariant de (a+b)/2 à racine(ab)
I2 = intégrale pour v variant de racine(ab) à (a+b)/2
POUR LA PREMI7RE INTEGRALE :
u = v-(v²-ab)^(1/2)
du = (1-v/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (((v²-ab)^(1/2) -v)/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (-u/(v²-ab)^(1/2))dv
POUR LA SECONDE INTEGRALE :
u = v+(v²-ab)^(1/2)
du = (1+v/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (((v²-ab)^(1/2) +v)/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (u/(v²-ab)^(1/2))dv
Les signes sont opposés, mais les bornes d'intégrations sont inversées, donc les deux intégrales ne s'opposent pas, mais au contraire s'ajoutent, ce qui donne au total:
I(a,b) = 2*I1 = 2*I2
Calculons l'une d'elle, par exemple I2
Calcul préliminaire :
(b²-u²)(u²-a²) = -(u^4)-a²b²+(a²+b²)u² =
(b²-u²)(u²-a²) = (a+b)²u²-(ab+u²)²
(b²-u²)(u²-a²) = ((a+b)²-4v²)u²
En reportant dans l'intégrale cette expression de (b²-u²)(u²-a²) et en remplacant (du) par (u/(v²-ab)^(1/2))dv on trouve :
I(a,b) = 2*Intégrale pour v=racine(ab) à v=(a+b)/2 de
dv/((v²-ab)((a+b)²-4v²))^(1/2)
donc :
I(a,b) = Intégrale(mêmes bornes) de dv/((v²-ab)(((a+b)/2)²-v²))^(1/2)
I(a,b) = intégrale pour v=A à v=B de dv/((v²-A²)(B²-v²))^(1/2)
avec A=racine(ab) et B=(a+b)/2
On retrouve, par rapport à l'intégrale du départ, racine(ab) à la place de (a) et
(a+b)/2 à la place de b. donc :
I(a,b) = I(A,B) = I(racine(ab),(a+b)/2)

JJ

Invité

Re : [Résolu] Integrale et changement de variable

il faut d'abord que vous étudiez et représentiez graphiquement la fonction
v(u)=(ab/2u)+(u/2)
en marquant bien sur le graphe les valeurs de v pour u=a, pour u=b et pour u=racine(ab). (rechercher la valeur minimum de v)
Ceci afin de voir et comprendre pourquoi, lorsqu'on intègre relativement à v, on est obligé de séprarer l'intégrale en deux intégrales distinctes :
I(a,b) = I1  + I2
I1 = intégrale pour v rariant de (a+b)/2 à racine(ab)
I2 = intégrale pour v variant de racine(ab) à (a+b)/2
POUR LA PREMI7RE INTEGRALE :
u = v-(v²-ab)^(1/2)
du = (1-v/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (((v²-ab)^(1/2) -v)/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (-u/(v²-ab)^(1/2))dv
POUR LA SECONDE INTEGRALE :
u = v+(v²-ab)^(1/2)
du = (1+v/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (((v²-ab)^(1/2) +v)/(v²-ab)^(1/2))dv
du = (u/(v²-ab)^(1/2))dv
Les signes sont opposés, mais les bornes d'intégrations sont inversées, donc les deux intégrales ne s'opposent pas, mais au contraire s'ajoutent, ce qui donne au total:
I(a,b) = 2*I1 = 2*I2
Calculons l'une d'elle, par exemple I2
Calcul préliminaire :
(b²-u²)(u²-a²) = -(u^4)-a²b²+(a²+b²)u² =
(b²-u²)(u²-a²) = (a+b)²u²-(ab+u²)²
(b²-u²)(u²-a²) = ((a+b)²-4v²)u²
En reportant dans l'intégrale cette expression de (b²-u²)(u²-a²) et en remplacant (du) par (u/(v²-ab)^(1/2))dv on trouve :
I(a,b) = 2*Intégrale pour v=racine(ab) à v=(a+b)/2 de
dv/((v²-ab)((a+b)²-4v²))^(1/2)
donc :
I(a,b) = Intégrale(mêmes bornes) de dv/((v²-ab)(((a+b)/2)²-v²))^(1/2)
I(a,b) = intégrale pour v=A à v=B de dv/((v²-A²)(B²-v²))^(1/2)
avec A=racine(ab) et B=(a+b)/2
On retrouve, par rapport à l'intégrale du départ, racine(ab) à la place de (a) et
(a+b)/2 à la place de b. donc :
I(a,b) = I(A,B) = I(racine(ab),(a+b)/2)