Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bonnes

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antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,
je cherche l'antécédent de 1600 par f(x)= x(100 - x). 
Merci encore pour votre aide précieuse.
bonnes

Zebulor

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,
classiquement ça revient à résoudre une équation du second degré mais je ne sais pas dans quelle classe tu es.
Sinon par tâtonnement une idée peut être d'écrire 16 puis 1600 sous forme de produit de deux nombres distincts.

yoshi

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,

Je viens de vérifier, bonnes est le grand-père qui aide son petit-fils...

L'idée de Zebulor, pour un niveau inférieur à classe de 1ere, est tout à faut appropriée.
On peut ajouter une pointe de raisonnement :
x est un nombre multiple de 10 (et inférieur à 100 : pouquoi ?)
En effet, 1600 est un multiple de 100.
Si x n'est pas multiple de 10, 100 - x non plus et évidemment x(100-x) non plus également.
C'est là que les tables de multiplications  vont servir...

N-B : il y a deux antécédents possibles.

@+

Dernière modification par yoshi (04-06-2022 13:06:46)

Bernard-maths

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour à tous !

L'équation "traditionnelle" à résoudre s'écrit : - x² + 100 x - 1600 = 0 ... Si x1 est une solution, on peut mettre (x - x1) en facteur ... Ce qui donne : (x - x1) ( -x + x2) = 0, avec x2= 1600/x1 ; on retrouve le produit « c/a » … De plus en développant, on retrouve « -b/a » = x2 + x1 = 100 ...

D'où l'idée de chercher 2 nombres de somme égale à 100, et dont le produit vaut 1600 ! Dixit Zebulor. Et à la mémoire de Diophante.

Juste pour en rajouter un peu, bonne suite !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-06-2022 15:00:44)

Zebulor

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

re,
sinon on peut remarquer que $x$ et $100-x$ sont symétriques par rapport à $50$ (il suffit d'en faire la moyenne)..Il existe donc un nombre $c$ non nul tel que $x=50+c$ candidat antécédent qu'on peut ensuite réinjecter dans l'équation de départ.
Reste à voir pourquoi $c$ n'est pas nul ..En supposant qu'il l'est on voit ce qui se passe...
$x$ est un antécédent tout comme $100-x$ puisqu'ils jouent un rôle symétrique. D'où les 2 antécédents possibles : $50+c$ et $100-(50+c)=50-c$, conformément à ce qu'écrit Yoshi.
Et Bernard m'invite à regarder ce qu'a fait ce Diophante..
PS : On retrouve le théorème de Pythagore en creusant un peu car $1600=40^2$ et $2500=50^2$
d'ou : $40^2=50^2-c^2$ soit $c^2+40^2=50^2$ etc..

Petite idée : factoriser 1600 par 50 :
$1600=50*32=50^2-c^2$
$50(32-50)=-c^2$
$c^2=900=30^2$
$c=30$ ou $-30$, d'où les 2 valeurs de $x$

Allez je me défoule après la bataille : $x(100-x)=-x^2+100x=-[(x-50)^2-50^2]=50^2-(x-50)^2=40^2$ d'où $(x-50)^2=30^2$  soit $x=80$ ou $x=20$

Autre idée : faire une translation par changement de variable en posant $y=x-50$
Il vient : $x(100-x)=(y+50)(50-y)=2500-y²=1600$, d'où $y=+30$ ou $-30$ d'où les deux valeurs de $x$..

Dernière modification par Zebulor (05-06-2022 18:10:30)

bonnes

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,
Merci à tous les trois pour votre réactivité et votre expertise, excusez-moi j'avais oublié de vous dire qu'il s'agissait d'un exercice de classe de 3 ème.
Je trouve 2 antécédents: 20 et 80, mais cela me paraît un peu "musclé" pour une classe de 3 ème ?
je vois avec plaisir que yoshi ne m'a pas oublié: je lui adresse mes sentiments les meilleurs.
Avec toute ma reconnaissance à yoshi, Zebulor et Bernard.
bonnes

yoshi

Modo Ferox

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonsoir,

J'avais souscrit à la réflexion de Zebulor et j'étais à peu près sûr niveau (grand) maximum 2nde.
Musclé ? Oui et non.
Oui, si on donne ça à brûle-pourpoint.
Mais, techniquement parlant, c'est à la portée d'un élève de 4e en le guidant.
Encore faut-il que la guidance soit bien pensée...

Donc, j'explicite ma pensée.
1600 = 16 * 100, c'est immédiat.
Ensuite, il est évident que 100 ne marche pas et que 1 ou 99 non plus...
Donc j'ai vu 16 * 100, puis j'ai vu 100 - x
Concernant  le produit x(100-x), pour qu'il soit multiple de 100 (10*10, parce que 5*20 ou 4 *25 ne marchent pas à cause de 100-x), x ne peut être qu'un multiple de 10...
En effet si le chiffre des unités est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9
la différence 100-x sera terminée par 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 ou 1
Et le produit x(100 - x) ne pourra être terminé par deux zéros.
Donc x, multiple de 10, peut-il être supérieur à 100 ?
Que nenni parce que dans ce cas x(100-x) est... négatif (à cause de 100-x).
Donc x est un nombre de dizaines à 2 chiffres et 100-x, itou !

Je laisse tomber les zéros et je  me penche (sans tomber) sur 16.
16 = 4 * 4 et 16 = 8 * 2 ou 2 * 8, c'est tout.
La dizaine de 4 (40) ne marche pas - 40(100-40) est différent de 1600 -...

Seules solutions, x = 20  et  x = 80...

Bon, ça demande d'avoir le sens de l'analyse puis de la synthèse...
Bah, j'ai fait pire que ça avec des 6e (c'était en guise d'amuse-gueules  pour faire connaissance...
Trois exemples.
Mon préféré :

Un champ rectangulaire a un demi-périmètre de 392 m. On augmente sa largeur et sa longueur de 8 m. De combien augmente son aire ? Il pourra être utile de dessiner un rectangle, de l'agrandir, puis de le découper et enfin de le partager "intelligemment" en 4 pour enfin réfléchir...

Et quand ils revenaient, fiers comme Artaban (comme un Bar Tabac, disait Coluche) l'ayant résolu avec une équation du 2nd degré, là, je rigolais :
Tu diras à papa maman, le grand frère, la grande sœur, le voisin que moi, j'ai juste besoin d'une feuille de papier, d'un stylo et d'une équerre pour tracer des angles droits, sans oublier une paire de ciseaux et un bâton de colle...
Je faisais mon tracé, mon découpage et mon collage, pour pouvoir leur faire remarquer qu'à condition de savoir que 4 x 8 = 32, on trouvait la réponse.
D'autres avaient choisi une Longueur et une largeur de façon que L+l= 392, puis étaient partis dans les calculs : c'était mieux et ça me permettait de leur demander s'ils avaient utilisé tous les exemples possibles ?
- Bin pourquoi donc ?
- Mais parce qu'en Maths, la réponse obtenue avec un seul exemple numérique, n'est valable que pour cet exemple.     
  Et moi, malgré mon tracé, découpage, collage je n'ai pas besoin de la Longueur et de la largeur, juste du demi-périmètre et ce que je fais
  est valable pour n'importe quel rectangle de demi-périmètre 392 m sans utiliser d'exemple(s).

Autre exemple.

Sébastien s'apprête à effectuer la multiplication de 532 par 47. Mais c'est ce moment que choisit  une mouche pour se dégourdir les pattes. Distrait, Sébastien se trompe et au lieu de décaler les produits partiels (par 7 et par 4) d'un rang vers la gauche, il les décale d'un rang vers la droite.
Par combien a-t-il en réalité multiplié 532 ? Sans faire les 2 multiplications (la vraie et la fausse), calculer de combien le résultat trouvé est plus grand ou petit que le résultat réel ?

Dernier exemple (faut pas abuser des bonnes choses).

Prouver, sans effectuer les 2 multiplications, que 27 x 6565 = 2727 x 65

Ça, c'était un peu "rosse", certes mais, la méthode, simplissime, permettait de leur leur répéter de ne pas se fier aux apparences, qu'un pb c'était une pelote de laine, qu'il fallait trouver le bout et tirer dessus pour la dérouler...
Donnez ça à des 3e, beaucoup vont hurler que c'est trop difficile...

Si ça vous dit, j'en ai 2 pages... ^_^

@+

bonnes

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,
Merci pour ces amples explications, les exemples me sont largement suffisants car je ne vois mon petit-fils que le mercredi. Le problème du champ rectangulaire me plaît bien, je le lui ferai faire.
Avec toute ma sympathie.
bonnes

yoshi

Modo Ferox

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,

▼ Solution bricolage 6e

(392+8)*8 =3200

En 3e (et au delà), pas besoin d'équation du 2nd degré non plus ^_^
Soit $x$ la la largeur et $y$ la Longueur.
L'aire ajoutée vaut :
$(x+8)(y+8) - xy = xy+8x+8y +64 -xy = 8(x+y)+64$
avec
$x+y =392$
Soit $382 \times 8+64=3200$

@+

Black Jack

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Re : antécédent d'un nombre par une fonction

Bonjour,

J'ai posé la question du champ à mon petit fils qui est en 3ème secondaire en Belgique (équivalent à la 4ème en France).

Je précise que je ne lui avais donné aucune consigne (comme suggérer le dessin et les ciseaux), préférant laisser libre court à son imagination.

Il a fait ceci :

Avec x et y les dimensions du champ :

x+y = 392
A1 = x*y
A2 = (x+8).(y+8) = xy + 8(x+y) + 64 = xy + 8 X 392 + 64 = xy + 3200

A2 - A1 = 3200

L'aire augmente de 3200 m²
********

Je vois, juste avant d'envoyer ce message, que cela correspond à la solution donnée en "caché" par Yoshi.