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Winzer2308

Invité

Exercice Arithmétique Maths Expertes

Bonjour
J'ai un exercice dans lequel il faut trouver PGCD(n,30) et PGCD(n,42) sachant que PGCD(n,18)=3 et PGCD(n,175)=5 et que n est un entier naturel.

Pour 30:

J'ai déterminé les diviseurs de 30 : 1,2,3,5,6,10,15,30 et de 42 : 1,2,3,6,7,14,21,42

On sait que n est un multiple de 3 et de 5.

Et après je bloque je comprend pas comment on peut déterminer le diviseur sans au préalable déterminer n.

yoshi

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Re : Exercice Arithmétique Maths Expertes

Bonjour,

$18 = 2\times 3^2$
$175 = 5^2 \times 7$
PGCD(n,18)=3 nous apprend que n est impair multiple de 3, mais pas de 9
PGCD(n,175)=5  nous apprend que n, multiple de 3, est aussi multiple de 5, mais pas de 25, ni de 7 (175 = 25 *7)

n est donc multiple impair de 3 et 5.
Donc PGCD(n,30) = ?

Mais n, impair , n'est pas non plus multiple de 7.
Donc PGCD(n,42) = ?

@+

Bernard-maths

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Re : Exercice Arithmétique Maths Expertes

Bonjour !

Ce matin, j'avais cogité ça qui suit, mais après j'ai vu "sans calculer n au préalable", donc j'ai remballé !

18 = 2 x 3² et 175 = 7 x 5² ... donc n n'est pas multiple de 2 ni de 7 ... ni de 9 = 3², ni de 25 = 5² ...

On cherche parmi les multiples de 15 = 2 x 3 : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; 90 ; 105 ; 120 ; 135 ; 150 ; ...

Puis on aurait encore : 165 = 11 x 15 ; 180 ; 195 = 13 x 15 ; 210 ; 225 ; 240 ; 255 =17 x 15 ... etc ...

Je ne vois pas bien la suite ? L'énoncé est-il complet ? Car je m'attends à une infinité de solutions ...?

Voir en posant n = 15 p, ce que peut valoir P !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (29-05-2022 16:56:00)

yoshi

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Re : Exercice Arithmétique Maths Expertes

RE,

@Bernard-Maths
Bien sûr, on ne peut donner une seule valeur de n, il y en a effectivement une infinité...

Mais, comme disent certains "djeûnes" de maintenant, osef !
L'énoncé, tel qu'il est posé, ne demande seulement que les valeurs de PGCD(n,30) et PGCD(n,42)

Sinon, il faudrait ajouter :
Donner tous les n possibles inférieurs à 500 (par exemple)...

@+

[EDIT]
Pour poursuivre tes cogitations :
n=15p, oui, mais pas n'importe quel p...

Dernière modification par yoshi (29-05-2022 17:29:31)

Winzer2308

Invité

Re : Exercice Arithmétique Maths Expertes

Merci pour vos réponses ! En effet il y a une infinité de n mais dans la question suivante de l’exercice (que je n’ai pas précisée car je l’avais mieux comprise mais j’aurais peut-être dû), on demande la valeur de n tel que n<100.