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Vincent62

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Equivalence de norme

Bonjour,

Je cherche à démontrer que pour tout [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] tels que [tex]1\le p\le q\le \infty[/tex], on a [tex]\|x\|_{\infty}\le \|x\|_{q} \le \|x\|_p \le n^{\frac{1}{p}}[/tex] pour tout [tex]x\in \mathbb{R^n}[/tex].

Lorsque p=2 et q=1, je n'ai aucun problème.

Pour le cas de l'énoncé, c'est la partie [tex]\|x\|_{q} \le \|x\|_p[/tex] qui me pose problème.
Si [tex]p\le q[/tex], alors [tex]\frac{1}{p}\ge \frac{1}{q}[/tex].
J'ai l'impression qu'il faudrait utiliser ici une histoire de décroissance. J'ai essayé de montrer que l'application [tex]f : p\to \|x\|_p[/tex] était décroissante pour tout p\ge 1, mais sans succès.

Pourriez-vous me guider ?

Merci

Vincent62

Invité

Re : Equivalence de norme

J'ai oublié le [tex]\|x\|_{\infty}[/tex]

Vincent62

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Re : Equivalence de norme

Bonjour,

J'essaye donc de montrer que pour tout [tex]1\le p\le q[/tex], on a [tex]\|x\|_q\le \|x\|_p[/tex] pour tout [tex]x\in \mathbb{R}^n[/tex]
Cela revient donc à montrer que [tex]\big( \sum_{k=0}^n |x_k|^p\big)^{\frac{1}{p}}\le \big( \sum_{k=0}^n |x_k|^q \big)^{\frac{1}{q}}[/tex]

Tout d'abord, il n'est pas clair pour moi que pour tout [tex]k\in [0,n]\cap \mathbb{N}[/tex], l'on ait [tex]|x_k|^p\le |x_k|^q[/tex]. En effet, si [tex]x_k\in [0,1][/tex], ça ne marche plus.

Auriez-vous une idée ?

Oreki-kun

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Re : Equivalence de norme

Bonjour,

Essaye de traiter le cas où $\Vert x\Vert_q = 1$. Puis le cas général.
Et c'est normal que ça ne marche pas, le fait qu'il y ait la puissance $1/p$ sur la somme est cruciale.

Dernière modification par Oreki-kun (27-05-2022 08:40:49)

Vincent62

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Re : Equivalence de norme

Bonjour Oreki-kun,

Merci pour ton indication.

Supposons que [tex]\|x\|_q=1[/tex]. Alors [tex]\sum_{k=0}^n |x_k|^q=1[/tex] et donc [tex]\forall k\in [0,n]\cap \mathbb{N}, |x_k|=1[/tex].
Il vient que pour tout [tex]p\le g[/tex], [tex]\forall k\in [0,n]\cap \mathbb{N}, |x_k|^q\le |x_k|^p[/tex].

Ainsi, [tex]1=\sum_{k=0}^n |x_k|^q\le \sum_{k=0}^n |x_k|^p[/tex] et donc [tex]\|x\|_q=1=1^{\frac{1}{p}}=\big(\sum_{k=0}^n |x_k|^q\big)^{\frac{1}{p}}\le \big(\sum_{k=0}^n |x_k|^p\big)^{\frac{1}{p}}=\|x\|_p[/tex]

Posons [tex]y:=\frac{x}{\|x\|_q}[/tex]. Alors [tex]\|y\|_q=1[/tex] et d'après ce qui précède, [tex]\|y\|_q\le \|y\|_p[/tex]. Par homogénéité de la norme, on obtient alors que [tex]1\le \frac{\|x\|_p}{\|x\|_q}[/tex] et donc que [tex]\|x\|_q\le \|x\|_p[/tex].

Dernière modification par Vincent62 (27-05-2022 13:08:59)

Oreki-kun

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Re : Equivalence de norme

Bonjour,

Supposons que [tex]\|x\|_q=1[/tex]. Alors [tex]\sum_{k=0}^n |x_k|^q=1[/tex] et donc [tex]\forall k\in [0,n]\cap \mathbb{N}, |x_k|=1[/tex]

Il est faux de dire que chacun des $x_k$ est de module $1$. Si je prend comme $x_k = \dfrac{1}{(n+1)^q}$ (qui est possible puisque $q$ est fixé). Alors la somme fait $1$.

Par contre, $\vert x_k\vert^p\le \vert x_k\vert^q$ est vraie sans supposer que ça vaut $1$. Donc le reste doit marcher

Dernière modification par Oreki-kun (28-05-2022 15:32:07)

Vincent62

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Re : Equivalence de norme

Bonjour,

Euh oui, c'est une erreur de frappe. Il fallait lire [tex]|x_k|\le 1[/tex] pour tout [tex]k[/tex].

Pour être bien sûr de tout saisir, lorsque tu précises que [tex]|x_k|^p\le |x_k|^q[/tex] pour [tex]p\le q[/tex], on est d'accord que cela est vrai justement car [tex]|x_k|\le 1[/tex] ?

Merci

Oreki-kun

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Re : Equivalence de norme

Oui, alors moi aussi, j'ai fait une faute de frappe. Pour tout clarifier, pour $p\le q$ entiers, pour $x\le 1$, j'ai $x^q\le x^p$, comme toi, tu l'avais écrit dans ton avant-dernier message.

Dernière modification par Oreki-kun (29-05-2022 15:44:17)

Vincent62

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Re : Equivalence de norme

Merci encore Oreki-kun !