Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Invité

tirage sans remise

Bonjour,

Alors voilà, je considère un sac avec 7 boules noires et 7 boules blanches.
Je procède à un tirage sans remise.
Etes-vous d'accord que la probabilité d'avoir exactement une boule noire et une boule blanche après 12 tirages est donnée par [tex]\frac{7!\times 7!}{14!}[/tex] ?

Je raisonne ainsi : on écoule 12 boules parmi les noires et les blanches ce qui donne [tex]\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2 \times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1}{14!}
[/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Merci !

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

Je pense plutôt maintenant : [tex]\frac{7\times 7}{14\times 13}[/tex]

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : tirage sans remise

Bonjour,

je ne sais pas si j'ai mal dormi mais je ne comprends pas ta question...

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

Bonjour Zebulor,

J'aime beaucoup ta signature.

Ma question est la suivante : on a 14 boules, 7 rouges et 7 noires. On tire une boule, sans la remettre. Quelle est la probabilités qu'au bout du 12ème tirage, il ne reste qu'une seule boule noire et une seule boule rouge exactement ?

Voilà :)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : tirage sans remise

Bonjour Vincent,

merci pour la signature.
Je comprends mieux. Tu veux dire que tu cherches la probabilité qu'il ne reste qu'une seule boule noire, et une seule boule blanche après le 12e tirage ? Parce que si la boule blanche devient rouge, ce n'est peut être pas moi qui ai mal dormi :-)

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

Quelle horreur, je suis désolé pour cette confusion inutile : on ne considère bel et bien que des boules rouges et noires.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : tirage sans remise

Ce n'est rien je plaisantais... le temps que je me réveille.
Il te reste donc :
- 2 rouges
ou 2 noires
ou une rouge et une noire

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

En fait je veux qu'il ne me reste exactement qu'une boule rouge et une boule noire.

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

Je précise : je veux qu'il ne reste dans le sac qu'une seule boule rouge ET une seule boule noire après le 12ème tirage.

On m'a expliqué que l'on pouvait voir les choses comme ceci : le problème revient à tirer deux boules, à les mettre de côté, à vider le sac, et à remettre les deux boules. Du coup, il faudrait simplement calculer la probabilité de tirer, au début, une boule noire puis une boule rouge, ou inversement.

Pour moi, la probabilité est donc donnée par [tex]2\times \frac{7}{14}\times \frac{7}{13} \approx 0,54[/tex].

Qu'en penses-tu ?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : tirage sans remise

Je comprends en tout cas ton calcul mais je ne sais pas encore. Ce qui donnerait une probabilité d'obtenir deux noires ou deux rouges à l'issu de 12 tirages égale à $0.23$ compte tenu de la symétrie du sujet..

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : tirage sans remise

Je réflÉchis à ton post 9 ..
Je pense qu'on peut aussi voir les choses comme suit :
à l'issu des 12 tirages sans remise, on tire autant de boules d'une couleur que de l'autre couleur, soit 6 noires et 6 rouges.
Il y a $C^7_6=7$ manières de prendre 6 boules noires parmi 7 et autant d'en choisir 6 parmi les 7 boules rouges.
Et tu as $C^{14}_{12}$ tirages possibles.

D'où une probabilité : $\dfrac {7*7}{C^{14}_{12}}=\dfrac {7}{13} \approx 0,54$

Et avec ce même raisonnement tu peux trouver la probabilité qu'il reste deux boules noires (ou deux boules rouges par symétrie) $\approx 0,23$,
$\dfrac {3}{13}$ étant le nombre exact ($\dfrac {C^{7}_{5}}{C^{14}_{12}})$

Dernière modification par Zebulor (26-05-2022 12:56:36)

Vincent62

Invité

Re : tirage sans remise

Je suis également d'accord avec toi, et nos résultats sont cohérents.
La probabilité que l'on ait le bon raisonnement me sembles alors assez élevée ^^

Merci à toi : )