Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zizou269

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sous groupe engendré par une partie

Bonjour,
j'ai du mal a comprendre une propriété sur le sous groupe engendré par une partie.
Je pense avoir compris la définition du sous groupe engendré par une partie qui est l'unique sous groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ ( au sens de l'inclusion). l'existence venant du fait que l'intersection $\mathbf{I}$ de tous les sous groupes de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ est non vide ( contient par exemple $e_G$) et l'unicité venant d'une double inclusion, on suppose qu'il existe $\mathbf{I'}$ plus petit sous groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$, alors $\mathbf{I'} \subset \mathbf{I}$ et $\mathbf{I} \subset \mathbf{I'}$ car $\mathbf{I'}$ est dans l'intersection definissant $\mathbf{I}$.

J'ai beaucoup plus de mal a comprendre la proprieté suivante : Si $\mathbf{S}$ partie non vide d'un groupe $(\mathbf{G}, \times)$.
$<\mathbf{S}> = \{a_1...a_n, n \in \mathbb{N^*}, \forall i \in [1;n], a_i \in \mathbf{S}$ ou $a_i^{-1} \in \mathbf{S} \}$.
Pourquoi $<\mathbf{S}>$ est formé des produits de $a_i$ (je suppose que c'est du au fait que $\mathbf{G}$ est multiplicatif mais je m'en persuade pas), ensuite dans un groupe chaque élèment $a_i$ doit aussi avoir son inverse dedans donc pourquoi on a $a_i \in \mathbf{S}$ ou $a_i^{-1} \in \mathbf{S}$ et pas les deux à la fois ? Auriez vous un exemple ?
Merci d'avance pour votre aide.

Oreki-kun

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

Très souvent, lorsque l'on ne précise pas la loi du groupe, et que ce groupe n'est pas commutatif (ou abélien), le groupe est doté d'une loi multiplicative. (si c'est abélien, souvent, le groupe est additif). Donc les définitions utilisent beaucoup plus souvent la notation multiplicative qu'autre chose.

Ensuite, le sous-groupe engendré par une partie peut (conséquence directe de la définition) se caractériser par l'ensemble des résultats des opérations du groupe que l'on peut faire avec TOUS les éléments de ta partie. Par opération dans un groupe, on entend donc la multiplication, et l'inverse.

Je me permets de modifier un peu ta définition :
$\langle S\rangle = \{x_1^{\varepsilon_1}\times\cdots\times x_n^{\varepsilon_n}~:~n\in\mathbb{N}^*\text{ et } \forall i\in[\![1,n]\!], x_i\in S, \varepsilon_i =\pm 1\}$

Peut-être qu'avec celle-là, tu vois mieux ce qu'il se passe.
Quant à l'exemple, mettons comme groupe $G:=(\mathbb{Z},+)$, et comme partie $S:=\{2,3\}$. Alors $\langle \{2,3\}\rangle$ est l'ensemble des éléments qui s'écrivent comme somme de $2$, de $3$, de $-2$ et de $-3$, i.e. (en factorisant), les éléments qui s'écrivent $2k+3l, (k,l)\in\mathbb{Z}^2$. (Par le théorème de Bachet-Bezout, on voit que $\langle \{2,3\}\rangle=\mathbb{Z}$ mais ça, c'est une autre histoire).

Peut-être un autre exemple sur un groupe fini : $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z}\backslash\{0\}$ doté d'une loi multiplicative. Comme c'est un groupe fini, on n'a pas besoin de prendre les inverses : l'inverse d'un élément $x$ de $S$ est une puissance de $x$ (en fait, on a l'inverse en remarquant que $x^{-1} = x^{d-1}$, où $d$ désigne l'ordre de $x$). De fait, il suffit de prendre l'ensemble des produits d'éléments de $S$.

Imaginons, $S=\{2,3\}$. Alors je calcule toutes les puissances de $2$ et de $3$, $\textit{i.e.}$ les $2^k3^l$ avec $(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. J'ai donc $S=2^k3^l~:~(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. ($S=\{1=2^0,2=2^1,3=3^1,4=2^2,5=2^2\times 3,6=2\times 3\}=G$).
L'exemple est un peu débile puisque $\langle\{3\}\rangle=G$ mais bon.

Dernière modification par Oreki-kun (22-05-2022 19:56:07)

Zeus

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Re : sous groupe engendré par une partie

bonjour,

Un sous -espace engendre par un système d’équations
linéaires
soit (P ) un système de m equations linéaire a n inconnues. l’ensemble des solution de (P) a pour dimension < n- rang(P) >
J’aimerais savoir, le rang(P) en question ses le rang de la matrice associée au système oubien ses le rang de la solution de l’équation (P)

yoshi

Modo Ferox

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

Plusieurs remarques :
1. Ton sujet n'a rien à voir avec le sujet en cours, il parasite la discussion couverte par Zizou269
    Il est de règle, dans tout forum, de respecter cette consigne : un sujet = une discussion, ce n'est donc pas ton cas.
2. Pour déposer ton sujet, tu as dû forcément soit cliquer sur Répondre, soit écrire directement dans le cadre Réponse rapide.
    Or, ton texte ne constitue en rien une réponse à Zizou269, alors pourquoi ? Méconnaissance du sens du verbe Répondre ?
    Je ne le pense pas.
3. Ce serait bien de produire un énoncé clair, mais aussi que  tu nous dises ce que toi tu as déjà fait.
    Ici, on t'aidera, mais on ne fera pas le travail à ta place...

En conséquence, je te demande d'ouvrir ta propre discussion en cliquant sur ce lien : Nouvelle discussion, puis choisir un titre court et précis, puis de copier/coller ton sujet.
Tu as 48 h pour le faire après quoi je supprimerai mon message et le tien.
En attendant, je veillerai à ce que tu n'aies pas de réponse : j'en suis désolé pour toi, mais je ne peux pas agir autrement sauf à accepter que l'anarchie s'installe dans ce forum.

Merci de ta compréhension.

       Yoshi
- Modérateur -

Tof

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

@zizou :

Bonjour,

Je pense avoir compris la définition du sous groupe engendré par une partie qui est l'unique sous groupe de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ ( au sens de l'inclusion).
.

Non, il en existe en général une multitude, dont G lui-même qui est le plus grand.
La définition concerne le plus petit au sens de l'inclusion, c'est celui-ci qui est unique.

l'existence venant du fait que l'intersection $\mathbf{I}$ de tous les sous groupes de $\mathbf{G}$ contenant $\mathbf{S}$ est non vide ( contient par exemple $e_G$).

Non rien à voir, en fait la famille considérée est non vide, et une intersection quelconque de sous-groupe est un sous-groupe.

Tof

zizou269

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,
J'y vois beaucoup plus clair Oreki avec votre définition, avoir un élément $x_i$ dans le $\langle S\rangle$ nous assure qu'on y a aussi son inverse en faisant des congruences modulo $n$ ( dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par exemple) et pour pouvoir reconstituer tous les éléments de $\langle S\rangle$ je dois l'ecrire comme $x_1^{\alpha_1}\times ...\times x_i^{\alpha_i}$.

Une remarque me saute aux yeux, par définition du $\langle S\rangle$ je suis assuré que ses éléments sont tous premiers entre eux sinon il existerait un plus petit $\langle S\rangle$, donc ce produit a bien un sens (c'est peut être ce que vous insuniez en disant
$\langle \{2,3\}\rangle = \mathbb{Z}$, il existe donc $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ tq $2u+3v=1$..., d'ailleurs $3-2=1$ est un générateur de $\mathbb{Z}$.

Merci @Tof pour votre remarque, l'existence découle d'une propriété encore plus forte, je pense avoir tout compris, je vais creuser tout ça.
Merci encore pour votre aide

Oreki-kun

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

Une remarque me saute aux yeux, par définition du $\langle S\rangle$ je suis assuré que ses éléments sont tous premiers entre eux sinon il existerait un plus petit $\langle S\rangle$, donc ce produit a bien un sens.

Qu'entends-tu par tous premiers entre eux? (Je précise que la notion de primalité relative n'est pas toujours définie. Ici, c'est le cas parce que $\mathbb{Z}$ est sympa.)

Tof

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonsoir,

Sinon pour la suite de vos questions :
   <S> comme tout sous-groupe contenant S,  doit contenir au moins tous  les produits finis ( y compris le produit vide égal au neutre de G) d'éléments de S ou leur  symétrique (le ou n'est pas exclusif, il se peut qu'ils soient égaux), il n'y a pas le choix.
Or pour l'ensemble H de ces produits on a deux propriétés remarquable:

- H est un sous-groupe de G
- H contient S par construction.

Ainsi H = <S> répond à la question.
Il est unique aussi par construction.

Tof

zizou269

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,
Ce que j'essaie de dire par là (peut être maladroitement), c'est que dans mon $\langle S \rangle$, je ne risque jamais d'avoir un $2$ et un $4$ à la fois, sinon par minimalité $\langle S \rangle$ ne serait pas le plus petit, donc considérer le produit des éléments de S a bien un sens.
merci Tof pour la fin de la preuve

Tof

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

Cela dépend de vôtre S: dans  $(\mathbb{Z}, +)$ pour S = {2},  <S> = contient bien à la fois 2 et 4.

Sinon dans un groupe quelconque, les élément 2 ou 4 que vous invoquez n'ont pas de sens.
Le théorème est général.

Tof

Oreki-kun

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Re : sous groupe engendré par une partie

Bonjour,

En lisant ton message zizou269, ça me fait penser à $\langle {2,3,4} \rangle = \langle {2,3}\rangle$ sans même savoir que l'un ou l'autre est égal à $\mathbb{Z}$, car $4$ est généré par $2$ (avec les opérations de notre groupe).

Mais le sous-groupe engendré est le même.

"Simplifier" $\langle {2,3,4} \rangle$ en $\langle {2,3}\rangle$ est en fait une question d'une sorte de liberté (ici, dans la théorie des $\mathbb{Z}-$modules), mais dans le cadre des espaces vectoriels (où un sous-groupe engendré devient un Vect (je rappelle que $\mathrm{Vect}(A)$=sous-espace vectoriel engendré par une partie $A$)), et bien
$\mathrm{Vect}((1,0),(0,1),(1,1)) = \mathrm{Vect}((1,0),(0,1))$, le dernier vecteur $(1,1)$ ne servant à rien car généré par $((1,0),(0,1))$.