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Werner Franck

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Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour tout le monde, je fait actuellement un exercice de géométrie euclidienne et je me pose une question.
On se place dans un espace euclidien (E, (.|.)) et on se donne f un endomorphisme de E. Si pour tout x dans E, on a (f(x)|x) = 0, cela permet-il de conclure que f est nulle ? Merci de vos réponses.

Roro

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour,

Que penses-tu de l'application $(x,y)\in \mathbb R^2 \longmapsto (-y,x)\in \mathbb R^2$ ?

Roro.

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Ah oui en effet désolé du dérangement j'aurais du trouver par moi-même ce contre exemple. Merci beaucoup.

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour,

Tu peux par contre démontrer que [tex]f[/tex] est antisymétrique.

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour, cela ne se borne-t-il pas aux formes multilinéaires comme caractérisation ?

Dernière modification par Werner Franck (15-05-2022 11:49:50)

Roro

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour,

Dans le cadre ici (espace pré-hilbertien), un endomorphisme est dit antisymétrique si pour tout $x$, $y$ on a $(f(x)|y) = -(x|f(y))$.

Il est facile de voir que ton hypothèse (à savoir $(f(x)|x)=0$ pour tout $x$) est équivalente à dire que $f$ est antisymétrique...

Roro.

p.s. comme je n'aime pas utiliser le mot "facile", je donne une indication si tu bloques pour le prouver : utiliser $x+y$ dans ton hypothèse.

Dernière modification par Roro (15-05-2022 13:18:07)

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour, cela ne se borne-t-il pas aux formes multilinéaires comme caractérisation ?

Que veux-tu dire ?

Eust_4che

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour à tous,

Franck fait référence aux formes bilinéaires qui peuvent être symmétriques ou antisymétriques.

En dimension finie, en particulier pour les espaces euclidiens, on peut dire qu'un endomorphisme est symétrique (resp. antisymétrique) si l'application $(x, y) \longmapsto (f(x), y) = [x, y]$ (qui est bilinéaire) est symétrique (resp. antisymétrique) ; ou bien qu'il est symétrique (resp. antisymétrique) si son ajdoint $f^*$ vérifie $f = f^*$ (resp. $f = - f^*$). Les deux définitions sont équivalentes.

Dernière modification par Eust_4che (15-05-2022 14:33:31)

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

En dimension finie, en particulier pour les espaces euclidiens

Je n'écrirais pas cela : les espaces euclidiens ne sont pas des espace de dimension finie particuliers. D'ailleurs la dimension finie ne figure pas dans la définition d'endomorphisme (anti)symétrique, qui vaut sur un espace de Hilbert.

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Bonjour, merci pour votre aide, j'ai finalement trouvé. D'ailleurs, la caractérisation d'endomorphisme antisymétrique f vaut donc seulement sur un espace euclidien et ne serait-elle pas équivalente au fait que pour toute base B orthonormée de E, matB(f) = transposée(matB(f)) ?
C'était le sujet de l'exercice que je traitais.

Dernière modification par Werner Franck (15-05-2022 20:11:07)

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Ah non au temps pour moi, j'avais lu (f(x)|y)=(x|f(y)) au lieu de (f(x)|y)="−"(x|f(y)). Cela dit, j'imagine que ça revient exactement à dire que
matB(f)=-transposée(matB(f)). Tout s'explique finalement. La caractérisation précédente était donc celle d'un endomorphisme symétrique et ne vaut pas que pour les espaces euclidiens si je dis pas de bêtises.

Dernière modification par Werner Franck (15-05-2022 20:13:47)

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Si, ça ne vaut que pour les espaces euclidiens !
Tu peux dire qu'une matrice est (anti)symétrique sans te préoccuper de produit scalaire. Mais pour un endomorphisme, ces notions ne font pas de sens sans produit scalaire (sans produit scalaire, comment définirais-tu une base orthonormée ?).

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Oui oui bien sûr je suis d'accord mais ce que je voulais dire était que la caractérisation "être un antisymétrique" ne vaut pas que pour des endomorphismes définis sur des espaces euclidiens.

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

????
Quel sens est-ce que ça a selon toi si tu n'as pas de produit scalaire ?

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Un endomorphisme f sur E est antisymétrique (resp. symétrique) si sa représentation matricielle est une matrice antisymétrique (resp. symétrique). Mais en effet, il risque d'y avoir un problème parce que pour que ça ait du sens, il faudrait que qq soit la base B choisie, matB(f) soit antisymétrique (resp. symétrique). Ce qui n'est pas le cas donc oui je me suis trompé parce que ducoup ça n'a du sens que pour la représentation matricielle dans une base orthonormée donc dans un espace euclidien.

Werner Franck

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

Si la représentation matricielle de f dans une base orthonormée de E est symétrique, n'importe qu'elle autre représentation dans n'importe quelle base l'est aussi non ?

Michel Coste

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Re : Endormorphisme d'un espace euclidien du type f(x) ortho à x.

1°) Non, sûrement pas. Pas dans n'importe quelle base.
2°) Comment définis-tu une base orthonormée si tu n'es pas dans un espace euclidien ?