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themandu17

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xf(x) convexe ssi f(1/x) convexe

bonjour,

Cela fait un certains temps que je bloque sur cet exercice : Soit f une fonction réelle définie sur ]0;+∞[. Montrer que la fonction x->xf(x) est convexe si, et seulement si, la fonction x->f(1/x) l'est aussi.

J'ai tout tenté( passer par la définition, inégalité des pentes) sans jamais aboutir à un résultat correct.

Si par hasard, vous avez quelques pistes, je suis preneur.

Merci beaucoup.

Dernière modification par themandu17 (08-05-2022 11:10:13)

leon1789

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Re : xf(x) convexe ssi f(1/x) convexe

Bonjour

Si la fonction est C² , il y a un critère de convexité via la dérivée seconde qui est intéressant ici.

Roro

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Re : xf(x) convexe ssi f(1/x) convexe

Bonsoir,

Sans utiliser la notion de dérivée, tu dois pouvoir utiliser que

$$\frac{1}{ta+(1-t)b} = s\alpha + (1-s)\beta$$

avec $\displaystyle \alpha = \frac{1}{a}$, $\displaystyle \beta = \frac{1}{b}$ et $\displaystyle s = \frac{ta}{ta+(1-t)b}$.

Roro.

Tof

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Re : xf(x) convexe ssi f(1/x) convexe

Bonjour,

oui, ça le fait bien à partir de cette excellente idée de Roro ( c'est du calcul, les choses se simplifient énormément et rapidement):

en posant par exemple $g(x) = xf(x)$ et en supposant $x -> h(x) = f(1/x)$  convexe:

$g( ta + (1-t) b) = ( ta + (1-t) b) f(  ta + (1-t) b) = \frac{1}{ s\alpha + (1-s)\beta} f(  \frac{1}{ s\alpha + (1-s)\beta} )$

Le terme de droite est majoré par $ \frac{s}{ s\alpha + (1-s)\beta} f( 1/\alpha)  + \frac{1-s}{ s\alpha + (1-s)\beta} f( 1/\beta)$
puisque h est convexe , qui se réécrit simplement en $taf(a) + (1-t)bf(b) = tg(a) + (1-t)g(b)$.
g est donc convexe.

L'autre implication se fait de façon analogue.

On a par exemple sans aucun calcul ( dérivée, étude de monotonie, etc juste connaissant grosso merdo la fonction $ln$ ) que $x -> xln(x)$ est convexe sur $]0, +\infty [$
En effet $ln$ est concave sur $]0, +\infty [$ ... donc son opposée est convexe.

Tof

Dernière modification par Tof (09-05-2022 16:48:47)

Tof

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Re : xf(x) convexe ssi f(1/x) convexe

Bonjour,

Si on veut s'amuser pour la réciproque, grâce au post précédent, on n'a même pas besoin de refaire de calcul numérique:

▼les doigts dans le nez

En notant encore $g:  x -> xf(x)$ que l'on suppose convexe sur $]0, +\infty[$  la composition de $g$ à droite par la fonction inverse $u : x \rightarrow 1/x$ donne
$\overline {g} = g \;o \;u $ qui vérifie  $\overline {g} (1/x) = g(x)  $ .
Ainsi la fonction  $  \overline {g} \;o\; u = g $  est convexe d'après l'hypothèse sur g.
Comme d'après la première implication (post précédent)  la fonction  $x \rightarrow x\overline {g}(x)$ aussi, on en déduit aussitôt que $ h: x \rightarrow f(1/x) $  ( qui lui égale ) est convexe .
En effet $\forall x > 0,  f(x) = (1/x) g(x) ) = (1/x) \overline {g} (1/x) $ par définition de $\overline {g}$

Autrement-dit pas besoin de se casser la tête

Tof

Dernière modification par Tof (11-05-2022 06:16:45)