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Physcitech

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Ascoli

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien,
C'est en essayant de faire cet exercice que j'ai réaliser que je ne savais pas montrer qu'une famille est équicontinue

Soit K la famille de fonctions f de classe $C^{1}$ de [0,1] dans $\mathbb{R}$ telles que
$$\int^{1}_{0}f^{2} + \int^{1}_{0}f'^{2} \leq 1$$

1. Montrer que c'est une famille équicontinue (on pourra utiliser Cauchy-Schwarz)
2. Montrer qu'elle est relativement compacte dans E.

Pour la une je ne vois pas comment utiliser Cauchy Schwarz
Pour la deux je pense utiliser le théorème d'ascoli, avec le résultat de la question une il reste à montrer que la famille est  bornée.

Merci d'avance !

raphael.thiers

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Re : Ascoli

Voici une piste pour la question 1
si $y>x$    $|f(y)-f(x)|  \le \int_x^y |f'(t)| dt \le\sqrt{y-x} \sqrt{\int_x^y |f'(t)|^2 dt} \le \sqrt{y-x}$

Dernière modification par raphael.thiers (29-04-2022 18:27:14)

Physcitech

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Re : Ascoli

Bonjour raphael, merci pour ton retour !

J'oublie toujours d'utiliser cauchy-schwarz avec la fonction 1, pour répondre à la question très proprement il faut donc supposer $\epsilon > 0$ $x \in [0,1]$ et montrer qu'il existe $\delta >0$ tel que $|x-y| < \delta$ implique $|f(x)-f(y)| < \epsilon$. Comment déterminer ce $\delta$ ?
Avec votre raisonnement il est clair que quand x se rapproche de y , $|f(y)-f(x)|$ tend vers 0 mais comment le montrer proprement ?

Physcitech

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Re : Ascoli

Si on pose $\delta = \epsilon^{2}$ alors $\sqrt{x-y} \leq \epsilon$ et $|f(x)-f(y)| \leq \epsilon$. Ca fonctionne ?

Pour la deux on a $||f|| \leq 1$, on applique ascoli, d'où le résultat. Vous confirmez ?

raphael.thiers

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Re : Ascoli

C'est ok  pour la question 1; mais j'imagine que $E$ est muni de la norme sup; il faudrait détailler comment tu arrives à $||f||_{\infty} \le 1$ ...
Peux tu nous définir $E$ stp ?

Dernière modification par raphael.thiers (30-04-2022 19:48:04)

Physcitech

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Re : Ascoli

Bonjour, le soucis c'est que E n'est pas définie dans l'exercice...