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julesjulesjules

Invité

équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour,
Je suis en étude d’agriculture, je cherche une solution mathématique a un problème de ration alimentaire. Ça fait un moment que j’ai plus trop fait de math donc mon niveau n’est pas très bon.
Mon problème est le suivant :

Je veux nourrir une chèvre. Il y a deux paramètres à prendre en compte :
1. Elle a besoin de 1,65 unité fourragère par jour. Ça correspond aux nutriments qu’elle a besoin d’ingérer tous les jours. Donc UF = 1,65
2. Son estomac a une place limitée, il ne peut pas supporter plus de 1,78 d’unité d’encombrement. Donc UE = 1,78

J’ai trois types de fourrages. Du foin, de la luzerne et de l’orge. Chaque fourrage à une valeur nutritive (UF) et une valeur d’encombrement (UE) qui lui est propre, calculé pour 1000g de fourrage.
Donc :
Pour le foin : UF = 0,74 et UE = 1,1
Le foin c’est la base de ma ration, ensuite vient le « concentré », composé de luzerne et d’orge
Pour la luzerne : UF = 0,58 et UE = 1,1
Pour l’orge : UF = 1,09 et UE = 0,19
Donc les valeurs moyenne de mon concentré c’est UF = 0,84 et UE = 0,65

Ce que je veux :
Déterminer quelle quantité d’aliment je dois donner à ma chèvre pour que ses besoins en UF soient satisfaits sans dépasser sa valeur d’encombrement UE.

Donc que

UFfoin * quantité de foin + UFconcentré * quantité de concentré = 1,65
UEfoin * quantité de foin + UE concentré * quantité de concentré = 1,78

J’arrive à résoudre ces équations, et à trouver une ration qui fonctionne, c’est-à-dire avec une quantité de foin, de luzerne et d’orge qui comble mes besoins en UF sans dépasser UE.
Seulement j’ai l’impression qu’il y a plusieurs solutions qui fonctionneraient, en fait d’un point de vue très concret ce que je veux c’est que ma quantité de foin soit la plus élevée possible puisque c’est ce que j’ai le plus sur ma ferme et c’est ce qui coute le moins cher.
Donc en gros je voudrais résoudre l’équation avec cette contrainte supplémentaire que la quantité de foin doit être la plus élevée possible et la quantité d’orge la plus faible possible.
Est-ce que c’est possible de prendre ce paramètre en compte dans un calcul ?

Matou

Invité

Re : équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour,

Avec des notations assez claires, j'ai l'impression que ton problème peut s'écrire :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        0,74 \cdot Q_{foin} + 0,58 \cdot Q_{luzerne} + 1,09 \cdot Q_{orge} & = & 1,65 \\
        1,1 \cdot Q_{foin} + 1,1 \cdot Q_{luzerne} + 0,19 \cdot Q_{orge} & = & 1,78
    \end{array}
\right.
$

En divisant la première équation par $0,74$ et la deuxième par $1,1$, on a :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        0,78 \cdot Q_{luzerne} + 1,47 \cdot Q_{orge} & = & 2,23 - Q_{foin}\\
        Q_{luzerne} + 0,17 \cdot Q_{orge} & = & 1,32 - Q_{foin}
    \end{array}
\right.
$

On peut alors résoudre :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        Q_{luzerne} & = & 0.86 - 0,83 \cdot Q_{foin}\\
        Q_{orge} & = & 1,06 - 0,24 \cdot Q_{foin}
    \end{array}
\right.
$

Tu remarques que, dès que tu as fixé la valeur de $Q_{foin}$, les autres valeurs sont données et que plus $Q_{foin}$ est grand, plus $Q_{luzerne}$ et $Q_{orge}$ sont petits. Toutefois, il faut que $Q_{luzerne}$ et $Q_{orge}$ soient positifs ou nuls.
Si tu pose $Q_{orge}=0$, tu en déduit alors que la valeur de $Q_{luzerne}$ est négative.
Donc, je propose de poser $Q_{luzerne}=0$, ce qui conduit à $Q_{foin}=1.04$ d'après la première équation et $Q_{orge}=0,81$.

Vérifie bien mes calculs, je suis du genre distrait...

Cordialement

Matou

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour,

Avec des notations assez claires, j'ai l'impression que ton problème peut s'écrire :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        0,74 \cdot Q_{foin} + 0,58 \cdot Q_{luzerne} + 1,09 \cdot Q_{orge} & = & 1,65 \\
        1,1 \cdot Q_{foin} + 1,1 \cdot Q_{luzerne} + 0,19 \cdot Q_{orge} & = & 1,78
    \end{array}
\right.
$

En divisant la première équation par $0,74$ et la deuxième par $1,1$, on a :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        0,78 \cdot Q_{luzerne} + 1,47 \cdot Q_{orge} & = & 2,23 - Q_{foin}\\
        Q_{luzerne} + 0,17 \cdot Q_{orge} & = & 1,32 - Q_{foin}
    \end{array}
\right.
$

On peut alors résoudre :
$
\left\{
    \begin{array}{lll}
        Q_{luzerne} & = & 0.86 - 0,83 \cdot Q_{foin}\\
        Q_{orge} & = & 1,06 - 0,24 \cdot Q_{foin}
    \end{array}
\right.
$

Tu remarques que, dès que tu as fixé la valeur de $Q_{foin}$, les autres valeurs sont données et que plus $Q_{foin}$ est grand, plus $Q_{luzerne}$ et $Q_{orge}$ sont petits. Toutefois, il faut que $Q_{luzerne}$ et $Q_{orge}$ soient positifs ou nuls.
Si tu pose $Q_{orge}=0$, tu en déduit alors que la valeur de $Q_{luzerne}$ est négative.
Donc, je propose de poser $Q_{luzerne}=0$, ce qui conduit à $Q_{foin}=1.04$ d'après la première équation et $Q_{orge}=0,81$.

Vérifie bien mes calculs, je suis du genre distrait...

Cordialement

Matou

Bonjour,

OK pour moi avec le système d'équations du départ.

Pour la suite, aux arrondis près je trouve :

Q(orge) = 0,718 - 0,1641 *Q(foin)
Q(Luzerne) = 1,494 - 0,9716 * Q(foin)

Il y a donc une infinité de solutions (ce qui est normal puisqu'on a une système de 2 équations à 3 inconnues)

Il faut bien entendu tenir compte que Q(orge), Q(foin) et Q(luzerne) sont forcément positifs ...
Ce qui impose de choisir Q(foin) compris entre 0 et 1,494/0,9716 = 1,538 (fois 1 kg de fourrage)

On choisit donc Q(foin) dans les limites ci-dessus.
Par exemple, on choisit Q(foin) = 0,5 (kg de fourrage foin)

et on calcule :

Q(orge) = 0,718 - 0,1641 * 0,5 = 0,636 (kg de fourrage orge)
Q(Luzerne) = 1,494 - 0,9716 * 0,5 = 1,008 (kg de fourrage luzerne)

Valeurs évidemment arrondies.

On trouve d'autres possibilités en choisissant des Q(foin) de valeurs différentes.
*****
Rien relu ... et donc erreurs de distractions possibles.

Matou

Invité

Re : équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour,

Black Jack a raison, j'ai fait une erreur dès la deuxième ligne du deuxième système d'équations...

Désolé.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour à tous !

C'est avec plaisir que je suis vos cogitations ... moi, je suis covidé pour le moment !

En fait à choisir une solution ne me semble pas être LA solution !

Il faut demander à Jules3fois quelles sont les "consignes" de quantités pour nourrir correctement sa biquette ...

Il pourra même choisir 2 ou 3 formules à utiliser pendant un certain temps chacune, ou selon la saison ... pour ne pas créer de lacune alimentaire ...

Cordialement, bernard-maths

julesjulesjules

Invité

Re : équation a deux inconnues, avec complication ?

Bonjour et merci de vos réponses !
Alors justement ce que je trouve fantastique dans ce système c'est qu'il est adaptable.
En élevage c'est souvent le mieux pour tout le monde de donner un maximum de fourrage donc un maximum de foin et de luzerne. A la limite un système avec 0 orge ce serait le mieux mais comme vous avez pu le voir ça ne marche pas sur le plan nutritif (pas assez de place dans l'estomac).
Donc moi ça m'a pris une éternité pour refaire les calculs et en arriver au même point mais au moins j'ai compris la logique des calculs donc je suis content
Q(orge) = 0,718 - 0,1641 *Q(foin)
Q(Luzerne) = 1,494 - 0,9716 * Q(foin)

Et du coup cette solution est complètement magique au regard de ce que je veux faire. Elle me donne le maximum de foin que je peux donner aux chèvres, et en même temps si j'ai besoin de rationner parce que je suis un peu court en fourrage elle me permet d'adapter instantanément mes quantités de luzerne et d'orge.
Donc c'est vraiment exactement ce que je voulais en fait, merci de votre efficacité et de votre clarté.