Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ÂLÆ

Invité

URGENT PLS Démonstration par récurrence d une limite (cos)

bonjour j espère que vous allez bien.
ça fait une semaine que je traîne avec cette limite qui devrait être prouvée par récurrence:
   
https://drive.google.com/file/d/1jgbbkQ … p=drivesdk

merci d avance pour votre aide

Dernière modification par yoshi (05-04-2022 11:20:45)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : URGENT PLS Démonstration par récurrence d une limite (cos)

Bonjour,

Si tu es dessus depuis une semaine, tu as dû faire quelques essais... pourrais-tu nous le dire pour qu'on puisse t'aiguiller ? Les réponses qu'on va te faire peuvent dépendre de ce que tu as déjà comme connaissances. En particulier, sais-tu faire le cas $n=1$ ?

Pour la récurrence, tu peux utiliser la relation suivante :
$$1-c^{n+1} = (1-c^n)c+(1-c).$$

Roro.

Dernière modification par Roro (05-04-2022 13:50:27)

ÂLÆ 132

Invité

Re : URGENT PLS Démonstration par récurrence d une limite (cos)

J'ai bien essayé mais je suis toujours fini ici et je me suis coincé:

https://drive.google.com/file/d/1jy7Rub … p=drivesdk

Merci beaucoup allez de cette relation j'ai pu  le résoudre merci beaucoup

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : URGENT PLS Démonstration par récurrence d une limite (cos)

Bonjour,

En supérieur, on devrait connaître la règle du génial Marquis (de Lhospital) ...
Par laquelle on arrive à la valeur donnée de la limite par 2 applications successives de la dite règle.

Mais comme c'est trop facile, on a tendance à ne plus enseigner cette règle, toujours sous de mauvais prétextes.

Fahd

Membre

Inscription : 30-10-2016

Messages : 1

Re : URGENT PLS Démonstration par récurrence d une limite (cos)

Bonjour,
Une transformation par des relations de trigonométrie et sachant limite quand x tend vers 0 de sin x/x=1.

Bonne continuation.

On veut calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}  \dfrac{1-\cos ax}{x^2}\]
\\
Le début de la résolution commence par une transformation trigonométrique :
\\
Partant de \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\], on a en prenant b=a :
\\
\[\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a\]
et par conséquent
\[\cos a=\cos^2\dfrac{a}{2}-\sin^2 \dfrac{a}{2}\]
\[\cos ax=\cos^2 \dfrac{ax}{2}-\sin^2 \dfrac{ax}{2}\]
et utilsant 
\[\cos^2 x+\sin^2 x=1\]

\[ \cos ax=\cos^2 \dfrac{ax}{2}-\sin^2 \dfrac{ax}{2} =1-2\sin^2 \dfrac{ax}{2}    \]
\[ 1-\cos ax=2\sin^2 \dfrac{ax}{2}    \]
\[ \dfrac{1-\cos ax}{x^2}=\dfrac{2\sin^2 \dfrac{ax}{2}}{x^2}=\dfrac{2\times a^2/4\times\sin^2 \dfrac{ax}{2}}{x^2 \times a^2/4} =\dfrac{a^2}{2}\left( \dfrac{\sin \dfrac{ax}{2}}{\dfrac{ax}{2}} \right)^2   \]
Il faut connaître la limite $\lim_{u\rightarrow 0} \dfrac{\sin u}{u}=1$ pour conclure
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos ax}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{a^2}{2}\left( \dfrac{\sin \dfrac{ax}{2}}{\dfrac{ax}{2}} \right)^2  =  \dfrac{a^2}{2}  \]

Dernière modification par Fahd (20-04-2022 00:48:51)