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maths48

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Exercice sur un groupe

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : G différent de {1}) n’admettant aucun sous-groupe non trivial,
c’est-à-dire tel que si K est un sous-groupe de G alors K = {1} ou K = G. On se propose
de montrer que G est fini et que son cardinal est un nombre premier.
Soit g un élément de G \ {1}.

(1) Montrer que g engendre G.
(2) Montrer que g est d’ordre fini. [On pourra considérer le sous-groupe engendré par g²]
(3) Montrer que g est d’ordre premier. [On pourra raisonner par l’absurde]
(4) Conclure.

1. <g> est un sous groupe de G or G n'a que 2 sous groupes possibles : K = {1} ou K = G et g est un élément de G \ {1}. Donc <g> = G.

2. Je voulais monter qu'il existe n tel que gⁿ = 1 mais je ne vois pas le rapport avec <g²>...

3. Supposons que g est d'ordre p non premier. D'après le théorème de Lagrange, 1 divise le cardinal de G et p divise le cardinal de G. Or p n'est divisible que par 1 ou lui-même. On a donc p premier.

Le soucis ici c'est que je ne vois pas la contradiction qu'on cherche avec une démonstration par l'absurde.

4. g est d'ordre premier, fini et g engendre G donc G est d'ordre fini, de cardinal premier.

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Dernière modification par maths48 (26-03-2022 21:22:05)

Fred

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

  Si g n'est pas d'ordre fini, alors tu peux montrer que g n'est pas dans le sous-groupe engendré par $g^2$... ce qui contredit que le sous-groupe engendré par $g^2$ est $G$ tout entier ou $\{1\}$.

Je ne comprends pas du tout ton argument pour la question 3. D'où sors-tu que "p n'est divisible que par 1 et par lui-même"???

F.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

Merci de votre réponse !

tu peux montrer que g n'est pas dans le sous-groupe engendré par g²

le sous groupe engendré par g² est {1,g,g²,...,g^k| k dans Z} mais pourquoi si g n'est pas fini il n'y appartient pas...?

D'où sors-tu que "p n'est divisible que par 1 et par lui-même"???

Je crois que je me suis embrouillé... Je voulais dire comme p est le cardinal de G et qu'il n'a que 2 sous groupes soit de cardinal 1 soit de cardinal p, p est divisible par 1 ou p mais en fait il aurait très bien pu être divisible par autre chose...

Dernière modification par maths48 (27-03-2022 09:35:33)

Eust_4che

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour à tous,

Il me semble qu'une bonne façon de procéder, c'est de considérer $G$ comme $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, dans la mesure ou $G$ est monogène (on peut alors poser $\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$). Si l'on sait ou qu'on remarque que les sous-groupes $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ s'obtiennent à partir des groupes $d\mathbb{Z}$, avec $d$ un diviseur de $n$, on peut en déduire l'information recherchée sur $n$. Mais peut-être que cela dépasse le niveau de Maths48.

E.

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

Pour résumer $<g^2>$ est un sous-groupe de $<g>$. Pourquoi ?

▼détails

En effet $g²$  est un élément de $<g>$

Soit $<g^2> = \{1\}$ et alors comme $g \ne 1$, g est d'ordre 2.
Soit $<g^2> =G ( = <g>) $
Il existe donc  $\exists m \in \mathbb{Z}  \; g = g^{2m} $. Pourquoi pouvez-vous alors en déduire que g (donc G) est d'ordre fini ?

▼détails

On simplifie par g l' égalité précédente. g élevé à une puissance impaire vaut 1, autrement-dit on a obtenu un entier k non nul ( k impair) tel $g^k = 1$
g est donc d'ordre fini .

Pour la suite, Lagrange n'a rien à voir avec le fait que si p est un entier, 1| p et p | p.
Ensuite vous posez finalement que p est premier, sans le prouver. Pour la suite , c'est sûr que comme p est premier (sans preuve) alors p est premier...

A.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Merci de vos réponses.

Lagrange n'a rien à voir avec le fait que si p est un entier, 1| p et p | p.

Pourquoi ? Si j'ai bien compris Lagrange dit que le cardinal du sous-groupe divise le cardinal du groupe. On a alors 1 qui divise p et p qui divise p. Où est mon erreur ?

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

l'ordre de g est le cardinal de G vu que <g> = G.
On a toujours  1 | #G et #G | #G ... Dire que cela est impliqué par le th. de Lagrange n'a aucun intérêt, on n'a rien appris sur G, et encore moins que son ordre est premier.

Les groupes n'existeraient pas, que vous auriez toujours cette même propriété de divisibilité.
Donc j'insiste: rien à voir avec le théorème de Lagrange, ni quoi que ce soit d'autre.

"E. Macron est président de la république" => 1 |10 et 10| 10.
Je n'ai rien appris sur le nombre 10, et en plus il n'est pas premier !

A.

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

2. Je voulais monter qu'il existe n tel que gⁿ = 1 mais je ne vois pas le rapport avec <g²>...

si vous prenez n = 0 ça marche.
Il faut absolument préciser n non nul.

A.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Merci de vos réponses.

Pour la 3 : Y a t-il un rapport avec ce corollaire : "tout groupe (G, .) d’ordre p premier est cyclique et engendré par l’un quelconque de ses éléments distincts de 1" ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

D'après votre exercice initial, ça revient à dire que c'est équivalent.
Si on n'a besoin que de l'autre sens d'implication, c'est immédiat avec Lagrange évidemment.
Vôtre exo permet de montrer surtout la réciproque, un peu plus délicate ( car on ne sait rien de la finitude du groupe).

A.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

Merci de votre réponse.

( car on ne sait rien de la finitude du groupe)

On a  montré à la question 2 que g est d'ordre fini et à la question 1 que <g> = G et donc que G est fini, non ? Pourquoi on ne peut pas utiliser le fait que G est fini ?

Merci d'avance,
Bonne journée.

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

bjr,

On ne le sait pas à la question 1. Il faut montrer (question 2) que G possède un générateur d'ordre fini.
C'est ce que j'ai fait, selon ce qui était proposé dans l'énoncé.

Avec vôtre corollaire,  on part d'emblée d'un groupe fini , c'est donc bien différent.

A.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Bonjour,

Merci de votre réponse.

3. ordre(g) n'est pas premier alors il existe m,n >= 2 tel que ordre(g) = mn
On peut alors construire <g^m>. Or G n'a que deux sgrps possibles. Contradiction. On a alors ordre(g) premier

Qu'en pensez-vous ?

Bonne journée

bridgslam

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Re : Exercice sur un groupe

Bonsoir,

Il ne faut pas zapper les points sensibles, ça doit être clair de A à Z:

Si g est d'ordre p non premier, p est égal à  mn, m et n étant différents de p.

Il faut dire pourquoi  $<g^m>$ serait différent de {1} et G, pour aboutir à la contradiction cherchée.

▼ce qui se conçoit bien s'énonce clairement

Il suffit de voir que son ordre divise n < p puisque $(g^m)^n = 1$ et que $g^m$ est distinct aussi de 1
car p est le plus petit entier tel que $g^p = 1$.
Tout est à utiliser.

Les preuves doivent être limpides, surtout dans cette théorie, où on peut vite tout mélanger.

A.

maths48

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Re : Exercice sur un groupe

Merci beaucoup, je vais rédiger ça mieux.