Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Antoine

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Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Bonjour

Comment démontrer la continuité d'une fonction de variable complexe.
En l'occurence, je dois démontrer que la fonction f : z  ->  1/(1-z) est continue au point z=0.

En vous remerciant d'avance.

john

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Salut,
Tu as 2 possibilités :
1/ par la définition classique de la cont.
2/ par la dérivabilité en 0 (qui => cont.)
A+

Fred

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Bonjour,

  Une possibilité est d'utiliser les séries géométriques. Tu écris, pour |z|<1 :

[tex]1/(1-z)=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n[/tex]
de sorte que, en utilisant l'inégalité triangulaire, on a
[tex]\left|\frac{1}{1-z}-1\right|\leq \sum_{n=1}^{+\infty}|z^n|\leq |z|\sum_{n=0}^{+\infty}|z|^n\leq \frac{|z|}{1-|z|}[/tex].

Pour |z|<0.5, on a donc |1/(1-z)-1|<2|z|, ce qui entraine la continuité en 0.

Fred.

Antoine

Membre

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Merci beaucoup à tous les 2 pour votre aide

john

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Re,
heu... oui Fred, sauf que cette (ta) majoration peut être faite directement sans passer par les séries.
A+

Barbichu

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Hello, et personne n'a évoqué la composition de fonctions continues :P ++

Fred

Administrateur

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Ah oui, John, tu as raison.

Le vrai problème avec cette question est qu'on ne connait pas le contexte où elle a été posée...
Donc difficile d'y répondre de la façon souhaitée!

F.

john

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Re : Continuité d'une fonction d'une variable complexe [Résolu]

Hello tous,
Effectivement Fred. Et d'ailleurs, sans même dériver la fonction, on doit pouvoir dire que f est analytique (car fonction de z seul) et donc qu'elle est continue en 0 comme la fonction réelle associée.
Ce qui me gène dans cette démonstration, c'est que dans mon cours de FVC, la continuité intervient avant la dérivabilité et même objection pour la composition proposée par Barbichu. En conclusion, si on débute le cours de FVC, il faut s'en tenir à la définition de la continuité. Isn't it ?
A+