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Eyer

Invité

Épreuves indépendants / probabilité

Salut ,
J'ai un petit problème pour comprendre cette phrase :"si les de l'une des épreuves sont indépendants des résultats de l'autre épreuve , on dit que cette expérience est formée de deux épreuves indépendants" .
Pourriez-vous m'aider à comprendre cela ?

Guillaume POI

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Re : Épreuves indépendants / probabilité

Voici un exemple qui devrait te donner une intuition de la chose.

Ce n'est pas toujours aussi évident. Par exemple, si on considère le genre d'une personne et le fait qu'elle soit droitière ou gauchère. A priori, les événements "être d'un certain genre" et "être gaucher ou gauchère" sont des événements indépendants. Mais si on nous donne les informations qu'environ 10\%10%10, percent des personnes dans le monde sont gauchères et qu'environ 12\%12%12, percent des hommes sont gauchers, on est obligé de reconsidérer cet à priori. La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère sachant que cette personne est un homme n'est pas la même que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère si on ne précise pas son genre.

Eyer

Invité

Re : Épreuves indépendants / probabilité

Voici un exemple qui devrait te donner une intuition de la chose.

Ce n'est pas toujours aussi évident. Par exemple, si on considère le genre d'une personne et le fait qu'elle soit droitière ou gauchère. A priori, les événements "être d'un certain genre" et "être gaucher ou gauchère" sont des événements indépendants. Mais si on nous donne les informations qu'environ 10\%10%10, percent des personnes dans le monde sont gauchères et qu'environ 12\%12%12, percent des hommes sont gauchers, on est obligé de reconsidérer cet à priori. La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère sachant que cette personne est un homme n'est pas la même que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère si on ne précise pas son genre.

Donc d'une manière générale, qu'est ce que c'est deux épreuves aléatoires indépendantes ? Ils doivent vérifier quoi ?

Eyer

Invité

Re : Épreuves indépendants / probabilité

J'arrive pas à bien comprendre !

Guillaume POI

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Re : Épreuves indépendants / probabilité

si 2 évènement sont indépendants, ça veut dire que la probabilité de l'un n'est aucunement impacté par la probabilité de l'autre. Imagine un univers omaga, dans cet univers tu as 2 évènements A et B. On peut alors dire que P(A\B) = P(A). (A\B signifie A auquel tu exclues B c'est à dire que tu vires l'intersection des deux évènements). Si les deux évènements n'étaient pas indépendants, tu aurais P(A\B) = P(AnB)/(P(B))  (n signifie ici intersection). Ou encore deux évènements non indépendants signifie que P(AnB) n'est pas décomposable car les deux interfèrent l'un avec l'autre. Si ils sont indépendants, on peut alors décomposer l'intersection comme suit : P(AnB) = P(A)P(B)

bridgslam

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Re : Épreuves indépendants / probabilité

Bonjour,

Imagine un univers omaga, dans cet univers tu as 2 évènements A et B. On peut alors dire que P(A\B) = P(A). (A\B signifie A auquel tu exclues B c'est à dire que tu vires l'intersection des deux évènements).

Il semble y avoir une confusion entre la différence ensembliste ( \ ) et la notation | ( sachant que, sous condition que... ).
Reprenons : Soient A et B deux évènements. Si $P(B)$ est non nulle, on peut définir $P(A|B) = P( A \cap B ) / P(B)$.
P( .|B) est encore en fait une probabilité, obtenue par restriction de l'univers initial $\Omega$ à B.

On dit que A est indépendant de B ssi P(A) = P(A|B).
Si A est aussi de probabilité non nulle, B est indépendant  de A ssi ......
On remarque alors que sous ces conditions , l'indépendance est symétrique et  P( A \cap B ) = P(A)P(B).

Cette égalité étant plus symétrique, on peut s'affranchir des probabilités conditionnelles en la prenant comme "définition" de l'indépendance entre  A et B.
D'après ton écriture ( virer l'intersection ) on n'a P( A\B) = P(A) que si $P( A\cap B)$ est nul (A et B quasi-disjoints), ce qui n'a rien à voir  avec l'indépendance. On peut trouver pleins de contre-exemples.
En réalité la définition réelle d'indépendance d'une famille d'ensembles d'évènements se rapporte stricto sensu à leurs tribus engendrées.
Pour juste deux évènements la définition ci-dessus   suffit (mais tout un lot d'évènements  liés à A  ou B sont quand-même aussi indépendants, $A^c$ et $B$ etc... et on perçoit bien les tribus derrière le rideau...)

A.