Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kadaide

Membre

Inscription : 02-04-2013

Messages : 188

encadrement fonction (x,n)

Bonjour,
fn(x)=1/(1+x^n), x dans [0,1] et n >=1
Démontrer que 1-x^n <= 1/(1+x^n) <= 1

Je multiplie les trois termes par 1+x^n:
(1+x^n)(1-x^n) <= 1 <= (1+x^n)
1-x^(2n) <= 1 <= (1+x^n)

1-x^(2n) <= 0 et (1+x^n) >1 vrai
J'en déduis que  1-x^n >= 1/(1+x^n) <= 1 est vrai.

Qu'en pensez vous ?

Merci d'avance.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : encadrement fonction (x,n)

Bonsoir,

1-x^(2n) <= 0 et (1+x^n) >1 vrai

Tu es sur que $1-x^{2n} \le 0$ ?

J'en déduis que  1-x^n >= 1/(1+x^n) <= 1 est vrai.

Il faudrait me semble t il des inégalités de même sens, tu voulais snas doute écrire $1-x^n \le \frac {1}{1+x^n} \le 1$ est vrai.

Guillaume POI

Membre

Inscription : 03-03-2022

Messages : 5

Re : encadrement fonction (x,n)

Ce que tu as écris est faux. En effet, 1-xˆ(2n)>=0 compte tenu de 0<=x<=1 et n>=1
Ce je te conseille de montrer que 1/(1+xˆn)<=1 ce qu'il est aisé de montrer compte tenu des conditions sus mentioné, on aura tjs xˆn>=0 donc 1/(1+xˆn)<=1
Par la suite je te conseille d'utiliser la technique suivante : démontrer que a<=b revient à démontrer que a-b<=0. Tu verras que tu pourras effectivement utiliser (a-b)(a+b) = aˆ2 - bˆ2 pour conclure. J'espère que ça va t'aider ;)

kadaide

Membre

Inscription : 02-04-2013

Messages : 188

Re : encadrement fonction (x,n)

Oui, 1-x^(2n) n'est pas négatif car x dans[0,1]

1-x^n-(1/(1+x^n))=-x^(2n)/(x^n+1) <= 0
1/(1+x^n)-1=-x^n/(1+x^n)<=0

Au final:
1-x^n <= (1/(1+x^n)) et 1/(1+x^n) <=1 donc 1-x^n <= 1/(1+x^n) <= 1

Je pense que c'est bon ?

Guillaume POI

Membre

Inscription : 03-03-2022

Messages : 5

Re : encadrement fonction (x,n)

Oui, 1-x^(2n) n'est pas négatif car x dans[0,1]

1-x^n-(1/(1+x^n))=-x^(2n)/(x^n+1) <= 0
1/(1+x^n)-1=-x^n/(1+x^n)<=0

Au final:
1-x^n <= (1/(1+x^n)) et 1/(1+x^n) <=1 donc 1-x^n <= 1/(1+x^n) <= 1

Je pense que c'est bon ?

yes ça fonctionne