Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lOla

Membre

Inscription : 20-04-2008

Messages : 10

systeme d'équation [Résolu]

Bonsoir!
j'ai un petit problème, j'ai un système d'équation à résoudre que je ne comprends pas.

x + y = 4,5    (1)

y = 2/3 x       (2)

ce qui donne:

(1)       x = 4.5 - y

(2)       y = 2/3 (4.5 - y)
c'est à partir de là que je suis bloqué car quand je fais la vérification, c'est faux.

si quelqun peut m'aider, merci d'avance.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : systeme d'équation [Résolu]

Bonsoir IOla,

Et bienvenue sur BibM@th....
Ce n'est jamais bien bon de mélanger fractions et décimaux : vous vous embrouillez facilement...
Donc
y=2/3(4,5-y) on développe :
y=3-2/3 y On passe les y dans le 1er membre :
y+2/3 y = 3
ON réduit :
5/3 y = 3
ON divise les 2 membres par 5/3 :
y = 3/(5/3)=3*3/5 = 9/5 (ou 1,8 : ici pas de pb la division se "termine")
x= 4,5 - y = 9/2 - 9/5 = 45/10 - 18/10= 27/10 (ou 2,7 : ici pas de pb la division se "termine")
2/3 de 2,7 c'est bien 1,8  et 2,7 + 1,8 = 4,5

@+

lOla

Membre

Inscription : 20-04-2008

Messages : 10

Re : systeme d'équation [Résolu]

Bonjour,

Merci beaucoup de m'avoir aidé, j'ai enfin compris :)
Je ne passais par le y de l'autre côté!

lOla

Membre

Inscription : 20-04-2008

Messages : 10

Re : systeme d'équation [Résolu]

(re) Bonjour,

J'ai un autre système à résoudre et je voudrais savoir si il faudrait utiliser la méthode par subsitution ou par combinaison. Car je viens d'apprendre le méthode par substitution et je n'ai pas encore appris celle par combinaison.

(1)  86x + 11y = 1045, 30

(2)  78x + 9y = 950,70

Merci, si quelqun peut  me renseigner sur la méthode à utiliser.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : systeme d'équation [Résolu]

Bonjour,

La méthode combinaison (encore dite d'addition) est universelle... Je ne recommande pas systématiquement la méthode de substitution : il faut savoir gérer les dénominateurs, ce qui n'est pas le cas, loin de là, de la majorité des élèves de 3e...
Cela dit, elle marche très bien quand même.
Méthode de substitution.
[tex]\left{86x+11y = 1045,30\\78x + 9y = 950,70 ---> y = \frac{950,70-78x}{9}[/tex]
J'ai choisi le dénominateur le plus petit, je reporte dans la 1ere équation :
[tex]86x+11\left(\frac{950,70-78x}{9}\right)=1045,30[/tex]
Je mets tout sur le dénominateur 9 :
[tex]{774 \over 9}x+11\left(\frac{950,70-78x}{9}\right)=\frac{9407,70}{9}[/tex]
Je multiplie les deux membres par 9, ainsi, je n'aurais plus à me préoccuper de ces dénominateurs :
[tex]774x+11(950,70-78x)=9407,70[/tex]
Je développe et je réduis :
[tex]774x+10457,70-858x=9407,70\\{-}84x+10457,70=9407,70[/tex]
Maintenant j'isole les x et je divise par -84 :
[tex]x=\frac{9407,70-10457,70}{-84}\\x=\frac{-1050}{-84}=\frac{25}{2}[/tex]
(ou 12,5)
Calcul de y :
[tex]y=\frac{950,70-78\times\frac{25}{2}}{9}[/tex]
Et enfin :
[tex]y={-}\frac{24,30}{9}=-2,7[/tex]
Solution : (x ; y) = (12,5 ; - 2,7)

Méthode de combinaison.
Elle consiste à d'abord choisir quelle inconnue on veut éliminer
Je choisis (par exemple) y.
Je dois donc multiplier les deux membres de la 1ere équation par un certain nombre, de même que ceux du 2e membre par un autre nombre de façon à un obtenir un nombre opposé de y dans les 2équations.
Alors, on additionne membre à membre et il n'y a plus de y.
Je choisis de multiplier l'équation (1) par 9 et ceux de la 2nde par -11 :
[tex]\left{774x+99y = 9407,70\\{-}858x - 99y = {-}10457,70[/tex]
On additionne membre à membre (en colonnes) et on obtient :
[tex]774x-858x=9497,70-10457,70[/tex]
Soit encore :
[tex]{-}84x=-1050[/tex]
Et on retrouve x = 12,5
Pour trouver y on reporte x dans l'équation (1) ou (2) de son choix (on essaie d'éviter des gros calculs. Ici, il n'y a pas vraiment le choix) :
[tex]78\times 12,5+9y= 950,70[/tex]

A toi de voir, mais avec ce type d'équations, mon choix personnel entre les 2 méthodes est vite fait...

@+

lOla

Membre

Inscription : 20-04-2008

Messages : 10

Re : systeme d'équation [Résolu]

Merci pour cette réponse bien détaillé !