sur une idée du forum collège-lycée

bridgslam · 15-02-2022 11:15:21

Bonjour,

https://www.cjoint.com/c/LBpkdIGdwnn

L'angle sur chaque côté est de 60°. On ôte pareillement les 4 coins et on rabat ( en fermant le dessus plan avec ce qu'on veut pour avoir au final un volume) pour obtenir un tronc de pyramide.

Quel doit être x afin d'obtenir le volume maximum?

Plus x est faible plus la base aura de surface, mais moins la hauteur sera grande...

Le cas de l'autre forum était un angle de 90 ( on ôte 4 carrés)...

Cela devrait bien plaire à Bernard...

A.

Black Jack · 15-02-2022 16:31:46

Bonjour,

J'ai trouvé x = C/2
avec C le coté du carré initial.

bridgslam · 15-02-2022 16:57:39

Bonsoir,

J'avoue honteusement ne pas avoir fait une once d'investigation, juste la question qui m'a amusé par elle-même.
Vous avez opté pour la hauteur maxi et une base minimum si je comprends bien.

Je regarderai sans doute ce w-e en disposant d'un peu plus de temps, j'espère.

Bonne fin de soirée

Alain

Black Jack · 15-02-2022 19:40:58

bridgslam a écrit :

Bonsoir,
J'avoue honteusement ne pas avoir fait une once d'investigation, juste la question qui m'a amusé par elle-même.
Vous avez opté pour la hauteur maxi et une base minimum si je comprends bien.
Je regarderai sans doute ce w-e en disposant d'un peu plus de temps, j'espère.
Bonne fin de soirée
Alain

Bonsoir,

Je n'ai pas "opté" pour une telle solution, elle s'est imposée par calcul (sauf erreur bien entendu)

J'ai cherché les aires des 2 bases et la hauteur h du tronc de pyramide en fonction de x

S = C²
s = (C-2x)²
h = 2x/(V2+V6) avec V pour racine carrée

Et avec le volume : Vol = h/3 * (S + s + V(S.s)) ... on a le volume en fonction de x

On cherche le max de ce volume en annulant la dérivée première de Vol(x) par rapport à x ...
et on arrive à x = C/2

Toutes erreurs de calcul incluses.

Michel Coste · 15-02-2022 21:27:43

Bonsoir,

Il me semble bien que Black Jack s'est trompé dans la description du tronc de pyramide. Une fois rabattu les trapèzes sur les bords, la base de la pyramide n'a plus comme côté [tex]C[/tex] (ça c'est pour le carré initial), mais [tex]C-\dfrac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}x[/tex].

Quand on fait les calculs avec les bonnes données (enfin, quand on le fait faire par Maple), on aboutit au résultat affreux de
[tex]x=\left(1/2*\left(1+\sqrt{3}\right)\right)*\left(\left(17/73\right)*\sqrt{3}-8/73-\left(1/73\right)*\sqrt{201-53*\sqrt{3}}\right)*C[/tex]
soit à peu près [tex]x=0.2057444\,C[/tex]. Et avec ça le volume est à peu près [tex]0.0471316\,C^3[/tex].

bridgslam · 15-02-2022 22:23:17

Bonsoir,

Opté au sens de l'option finale, je me doute bien que vous n'avez pas effectué ce choix au hasard... Ni sur une intuition hasardeuse, évidemment.
Je tenais à préciser, si le mot opté vous a heurté, qui n'était pas le sens que je lui donnais, que vous avez sans doute interprété différemment.

Sans mapple à disposition, quand il s'agit de calcul formel,
j'utilise une calculatrice Casio.
Cela suffit la plupart du temps.

A.

Black Jack · 16-02-2022 07:57:19

Bonjour,

J'avais repéré une erreur dans mes réponses mais j'ai été devancé pour l'annoncer

S = C² est évidemment faux et doit être modifié.

Le reste de la procédure est bon ... mais conduira évidemment à une autre valeur de x

Dernière modification par Black Jack (16-02-2022 07:57:45)

Michel Coste · 16-02-2022 09:11:22

@bridgslam : pour le calcul formel, tu as d'excellents outils libres et gratuits : SageMath ou Xcas.

Bernard-maths · 16-02-2022 10:19:10

Bonjour à tous !

Je découvre ce matin ce problème ! Mais j'avoue que je comprends mal la figure ???

L'angle de 60° se trouve sur le quadrilatère bleu ? ou sur la pente des côtés par rapport à la base ?

Et puis j'ai des ouailles qui m'attendent à 11h ... je reprendrai après.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2022 10:20:43)

bridgslam · 16-02-2022 10:38:25

Bonjour Bernard,

chaque quadrilatère bleu ( 1/coin) possède deux côtés inclinés chacun de 60° par rapport au grand carré de base, avant d'intercepter la bissectrice du coin en question.

Cordialement,

Alain

bridgslam · 16-02-2022 10:42:06

Bonjour,

Michel: oui j'ai oublié Sage que j'avais utilisé il y a un bon moment, en m'intéressant de près aux graphes simples car il fournit pas mal d'outils sur le sujet.

Merci
A.

Bernard-maths · 16-02-2022 16:08:57

Bonjour !

Quelques manipulations géométriques me font pencher vers x = c/2 ! On a alors une pyramide non tronquée.

En ce cas je rejoins Black Jack ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2022 16:11:29)

Black Jack · 16-02-2022 17:50:36

Bernard-maths a écrit :

Bonjour !
Quelques manipulations géométriques me font pencher vers x = c/2 ! On a alors une pyramide non tronquée.
En ce cas je rejoins Black Jack ...
B-m

Bonjour,

Oui, mais j'ai clairement commis une erreur ... et la réponse n'est pas x = C/2

Bernard-maths · 16-02-2022 18:30:33

Hello !

Ah !!! ??? J'ai pourtant monté une manipulation sur GeoGebra, et ça me donne x = c/2 !???

Je vais reprendre mes calculs, une tit erreur s'est glissée en douce ?

B-m

Michel Coste · 16-02-2022 18:31:26

Le volume obtenu pour [tex]x=C/2[/tex] est à peu près [tex]0.01156\,C^3[/tex], qui est bien en-dessous du maximum qui est à peu près [tex]0.04713\,C^3[/tex].

Bernard-maths · 16-02-2022 19:06:47

Re-hello !

oui, je me suis mélangé les pédales ! Je trouve environ x = 0,42 c, et V = 0,013 c³ !!!???

On n'est pas d'accord ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2022 19:07:20)

bridgslam · 16-02-2022 19:31:32

Bonsoir,

Pour la grande base, la valeur b du côté fournie par Michel correspond à la mienne.
Pour la base plus petite, $b' = b - 2x\sqrt{3}/(3+\sqrt{3}) $
Pour la hauteur entre elles j'ai $ H = x \sqrt{3} / ( 3 + \sqrt{3})$.

Il reste à prendre son courage à deux mains pour la suite... élever b et b' au carré, et utiliser la formule du volume d'un tronc de pyramide en utilisant les 2 aires et H.
Enfin maximiser (possible puisque la figure est contenue dans la pyramide où on ne touche à rien du tout - de base c : rien ne dit qu'il y a une seule solution a priori)

La marge est trop étroite dans ce papier pour détailler le calcul final ( farce à la Pierre De Fermat ).
Je ne pensais pas au début que cela allait être si pénible...
Au lieur de 60° j'aurai dû choisir 90 ° ça aurait été plus rapide...

Alain

Bernard-maths · 16-02-2022 20:06:35

Bonsoir maintenant !

Avec ma simulation GeoGebra, je ne trouve qu'un maximum, celui que j'ai donné. Bien sur on peut faire des calculs ... Je trouve que les panneaux obliques sont inclinés de 125°,2, et que ça ne change pas en variant x ...

Par contre je peux régler l'angle que je veux (et qques adaptations), et j'aurai le résultat (approché) aussi !

J'y réfléchis ... Mais (à priori) l'angle ne peut varier que de 45° à 90° ... (sauf si on veut s'amuser ...) !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (16-02-2022 20:11:36)

Michel Coste · 16-02-2022 22:51:36

Hum hum ... Ça ne va pas du tout, ce que vous écrivez !

Quand on replie les trapèzes sur les bords pour former un tronc de pyramide, le carré du haut a évidemment un côté de [tex]C-2x[/tex] et la hauteur du tronc de pyramide est [tex]\dfrac{x\sqrt2}{1+\sqrt3}[/tex]. Sur ces points-là, Black Jack ne s'était pas trompé.

Michel Coste · 16-02-2022 23:08:40

Une image :

bridgslam · 17-02-2022 08:48:57

Bonjour,

avec l'écart (grande base - petite base) /2 , j'avais calculé ( Pythagore 2 fois , dans le plan horizontal facile, puis vertical ensuite pour avoir la hauteur du tronc.
J'ai dû faire une erreur quelque part. Je reprendrais sans doute ce soir pour vérifier avec celle de Michel.

Alain

bridgslam · 17-02-2022 10:07:00

Bonjour,

En reprenant les calculs, je souscris aussi pour la hauteur à celle de Black Jack et Michel Coste.
Les dimensions de la figure ( 2 bases et hauteur ) sont donc normalement bien celles fournies.

Alain

Michel Coste · 17-02-2022 14:43:28

Un calcul dans SageMath et le résultat :

# variables

C,x = var("C,x")

# côté du carré de base

B = C-2*sqrt(3)/(1+sqrt(3))*x

# côté du carré au sommet

S = C-2*x

# hauteur du tronc de pyramide

H = sqrt(2)/(1+sqrt(3))*x

# volume du tronc de pyramide

V = H*(B^2+B*S+S^2)/3

# dérivée du volume par rapport à x

der = diff(V,x)

# racines en x de la dérivée

sols = solve(der==0,x)

# valeurs critiques du volume et valeurs correspondantes de x

volcrits = [V.subs(x=s.rhs()) for s in sols]

print("valeurs critiques du volume : {}".\

      format([round(v/C^3,5)*C^3 for v in volcrits]))

print("valeurs correspondantes de x : {}".\

     format([round(s.rhs()/C,5)*C for s in sols]))

print("valeur exacte du x donnant le volume maximal :\n",factor(sols[0].rhs()))

valeurs critiques du volume : [0.04713*C^3, 0.0051*C^3]
valeurs correspondantes de x : [0.20574*C, 0.59684*C]
valeur exacte du x donnant le volume maximal :
-1/2*C*(sqrt(2)*sqrt(5*sqrt(3) + 9) - 3*sqrt(3) - 7)/(3*sqrt(3) + 10)

Bernard-maths · 18-02-2022 18:11:28

Bonsoir à tous !

Et à Hum ... hum Michel Coste !

On peut dire que ces dernir=ers temps j'accumule les erreurs de calculs élémentaires ! Mais j'arrive à mes fins, et je vais vous proposer un "chef-d'oeuvre" de GeoGebra, avec quelques défauts qu'il faudra arranger ... plus tard !!!

J’ai construit une figure avec GeoGebra 5, en partant d’un carré ABCD de côté c = 10. En partant de A(c/2,-c/2) … les 2 figures à plat (2D) et en perspective (3D) ci-dessous !

A la distance x0, (pour ne pas utiliser x) variable, de chaque sommet on place 8 points sur les côtés, E à E3, G à G3, et 4 autres F à F3, de telle sorte que les 4 quadrilatères (bleus) aient en E et G des angles égaux à alpha = 60°.
On a tracé le carré FF1F2F3, et avec les 4 trapèzes sur les bords, on a le patron, sans couvercle, d’un tronc de cône !

Sur ce dessin il y a 3 curseurs : l’un pour la variable x0, variable de 0 à c/2, et l’autre pour l’angle variable alpha, variable de 45° à 135° … max, mais selon x0. Enfin le 3ème pou régler l'angle de rabattage des côtés vers le chapeau ! Enfin il y a une flèche rouge qui indique le volume du tronc de cône, à multiplier par 10, car problème d'unité et de longueur ...

Le carré vert est le chapeau rajouté lorsque les 4 trapèzes sont pliés en position de tronc de cône. Il se situe à une hauteur hpyr représentée par le segment [II0] (- : ih ih c’est nul :-), I étant la projection de I0 sur (ABCD), et aussi le 4ème sommet du carré AEIG.
Le côté [IE] recoupe le carré de base FF1F2F3 en M. Ainsi la longueur ME est l’apothème a du tronc de cône !
Coordonnées de F : la droite(EF) passe par E et inclinée de l’angle (AEF) = alpha … et F est sur la diagonale (AC) …
(EF) : y + c/2 = tan(alpha) * (x – c/2 + x0) ; et (AC) : y = -x … d’où a= x0 tan(alpha) / (1 + tan(alpha)) !
Sur la figure 3D, on a : a = ME = MI0 ; MI = (x0 – a), et donc hpyr² = a² - (x0 – a)² …
On en déduit finalement que : hpyr = x0 Racine((tan(alpha) - 1)/(tan(alpha) + 1)).

Et le volume Vol = hpyr * ( (c - 2 x0)² + (c - 2 a)² ) /2 = k* x0 * ( x0² + k' x0 + k''), ave k > 0 ... donc cette courbe du 3ème degré passe par l'origine en croissant, et donc passe par un seul maximum après !!!

Je vais donc ici vous proposer une résolution graphiquee du volume maximal ! D'abord on choisit l'angle alpha (60° sur la figure), puis on fait varier x0 sur le curseur, on voit la flèche rouge ddu Volume qui change de taille. Evidement, on s'arrête sur x0 qui donne le volume max ! Sur la figure x0 = 2.13 pour V = 47.5 = 4.75 * 10 !

Voilà ce que j'ai à vous proposer. Bien sur si vous chargez le programme GeoGebra, ce sera plus amusant !

Je vais rajouter plus tard quelques compléments ... si vous avez des questions ... hum hum ou des remarques ...

Voici le programme, dites-moi si ça marche !??? Merci pour l'info.

https://cjoint.com/doc/22_02/LBssjvld6F … -02-17.ggb

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-02-2022 19:21:23)

Michel Coste · 19-02-2022 14:46:35

Bonne fin de semaine !

La résolution graphique, c'est très joli mais pas très précis. J'ai déjà donné plus haut les valeurs exactes pour le maximum de volume, et pour C=10 on arrive à un volume maximal d'à peu près 47.1316 pour x=2.0574. On peut comparer avec le 47.5 pour x=2.13 trouvé par Bernard sur le graphe du volume en fonction de x :

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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