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Damien

Invité

denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Bonjour,

J'aimerais avoir de l'aide pour resoudre un probleme de denombrement. J'ai reussi a obtenir des resultats de maniere empirique mais j'ai fini par bloquer completement!

Voici le pb:
Imaginons que nous ayons 5 balles indentiques, et 16 boites identiques. lorsqu'on lance les balles en l'air elles retombent forcement parmis les boites, mais sont reparties aleatoirement (chaque balles a autant de chance de tomber dans une boite ou dans l'autre). Apres avoir lancé les balles on ne detectera que les balles etant seules dans leur boites.
exemple:
P(5,5) = toutes les balles sont tombées dans une boite differentes --> proba pour detecté 5 balles sur cinq : P(5,5) = A(5,16)/16^5
P(5,4) = 4 balles detectés, 1 non detectée --> Impossible car il faut au moin 2 balles pour ne pas etre detecté :  P(5,4) = 0
P(5,3) = 3 balles dans 3 boite differentes et 2 balles ds la meme boite --> proba pour detecté 3 balles sur cinq : P(5,3) =C(3,5)*A(3,16)*C(1,13)/16^5
P(5,2) = 2 balles dans 2 boite differentes et 3 balles ds la meme boite --> proba pour detecté 2 balles sur cinq : P(5,2) =C(2,5)*A(2,16)*C(1,14)/16^5

Mon pb commence a se poser ici: P(5,1) et P(5,0) car il y des cas en double:
ex:
P(5,1) = 1 balles dans 1boite differentes et 4 balles ds la meme boite  OU  2 balles ds 2 boites differentes.
P(5,0) = 5 balles ds la meme boite  OU  2 balles ds 1 et 3 balles ds une autre boite.

C'est le OU qui me posent pb car je n'arrive pas a denombrer les cas ou on a que des double ou triple: 1,1,2,2,2 + 1,1,1,2,2,+ 10,15,15,15,10 etc... (16 boites).

Si quelqu'un peut m'aider je l'en remercie d'avance.....

Au revoir

john

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Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Bonsoir,
Si j'ai bien compris ton pb., il suffit simplement d'appliquer :

SI A Inter B est vide ALORS p(A Union B) = p(A) + p(B)

Exemple pour p(5,1)
-----------------------
A = '4 balles dans une même boite et 1 balle dans une autre boîte'
B =  '2 balles dans 2 boîtes differentes et 1 balle dans une autre boîte'.
L'intersection de ces événements est bien vide car tu ne peux pas avoir à la fois A et B vrais.
A+

tibo

Membre expert

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Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

bonsoir,

en proba, le Et se traduit par un x
et le OU se traduit par un +

ça peut t'aider aussi

john

Membre actif

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Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Que diable tibo ! Il va falloir réviser sérieusement.
A+

PS :
Il serait d'ailleurs de bon ton que tu précises à nos jeunes lecteurs,
les conditions dans lesquelles ce que tu dis est vrai.
Vifs remerciements anticipés.

Dernière modification par john (15-04-2008 08:42:24)

Damien

Invité

Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Bonjour,

Merci de m'avoir repondu, je n'ai pas encore verifié les solutions qui suivent ms je pense que ca devrait etre comme ca:

rappel:
P(5,1) signifie 1 balles ds une seule boite et les quatre autres groupés par pair ds 2 boites differentes.

P(5,1): C(1,5)*A(1,16)*C(2,4)*A(2,16) --> 1 tag parmis 5 dans 1 boite parmis 16 * 2 balles sur 4 dans 2 boite differentes.

P(5,0): C(0,5)*A(016)*C(2,5)*A(2,16).

C'est ce a quoi je pense intuitivement, ms je vai verifier bientot avec matlab en faisant la somme de toutes les proba pour tous les cas ( 1 boites a 16 boites, 1 balle à 50 par exemple ) ,qui doit faire 1.

Si c'est bon je ferai de belles courbes et je fournirai les fichiers *.m a ceux que ca interresse :)

Sinon si vous avez des idées je suis toujours preneur!

Merci et bonne journée

john

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Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Salut Damien,

C'était pas très clair dès le départ (événements confus et mélangés aux proba.)... mais si maintenant tu changes la signification de tes notations :

...
rappel:
P(5,1) signifie 1 balles ds une seule boite et les quatre autres groupés par pair ds 2 boites differentes.

alors que je lis dans ton 1er message :

"P(5,1) = 1 balles dans 1boite differentes et 4 balles ds la meme boite  OU  2 balles ds 2 boites differentes."

Attention, je t'ai donné la solution pour cette signification et non pour la nouvelle.

Un petit conseil en proba. :
Etre toujours très clair sur la définition des événements... le reste c'est du petit calcul de coin de table.

Tu veux des idées sur quoi ?

A+

Damien

Invité

Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Salut John,

Oui, merci de m'avoir fait remarqué que dans mon second message j'avai oublié le premier cas ou toutes les 4 balles sont dans la meme boite.
Donc en fait si je resume P(A) = 1 balles toute seule et 4 balles ds la meme boite
                                     P(B) = 1 balles toute seule et les quatre autres groupés par pair ds 2 boites differentes.

Si je suis ton explicattion: P = P(A) + P(B)

--> P(5,1) = C(1,5)*A(1,16) * ( C(4,4)*A(1,15) + C(2,4)*A(2,15) ) ??
ca a l'air juste comme ca, ms g aussi l'impression qu'il faudrai faire P(A) + P(B) + P(A&B). avec P(A&B)=?.

En fait je suis pas tres calé en denombrement..... ca a pas l'air compliqué qd on voit les calculs ms les resultat sont tres differents si on base son calcul sur le nombre de trucs detecté ou sur le nombre de truc pas detecté!! Il faut de la pratique pour voir la methode tout de suite.

Donc si possible je voudrai des idées sur: le denombrement des double ou triple: 1,1,2,2,2 + 1,1,1,2,2,+ 0,15,15,15,10.

Merci A+

john

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Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

GRRRR !!!! Quelle soupe...

Donc en fait si je resume P(A) = 1 balles toute seule et 4 balles ds la meme boite
                                     P(B) = 1 balles toute seule et les quatre autres groupés par pair ds 2 boites differentes.

Si je suis ton explicattion: P = P(A) + P(B)

--> P(5,1) = C(1,5)*A(1,16) * ( C(4,4)*A(1,15) + C(2,4)*A(2,15) ) ??
ca a l'air juste comme ca, ms g aussi l'impression qu'il faudrai faire P(A) + P(B) + P(A&B). avec P(A&B)=?.

Là encore, tu mélanges tout ! J'ai écrit :
A = '4 balles dans une même boite et 1 balle dans une autre boîte'
B =  '2 (paires de) balles dans 2 boîtes differentes et 1 balle dans une autre boîte'.
A et B sont des événements.
P(A) et P(B) sont des proba.
L'événement que tu as appelé (5,1) n'est autre que l'événement A Union B.
A et B sont disjoints : en effet, après une épreuve, tu ne peux pas occuper à la fois 2 boîtes (si A se réalise) et 3 boîtes (si B se réalise).
Conclusion :
A Inter B est vide et donc P(A Inter B) = 0
On a bien comme tu aurais dû l'écrire :
P(5,1) = P(A Union B) = P(A) + P(B) - P(A Inter B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B).

Ensuite, on fait les petits calculs sans états d'âme...
A est construit en tirant 1 boîte parmi 16, dans laquelle on place 1 balle tirée parmi 5, puis en tirant 1 boîte parmi 15 pour placer les 4 balles qui restent.
P(A) = 16.5.15/N
etc.
Si tu définis clairement les événements qui constituent (5,0) tu n'auras aucun pb. de dénombrement (car tu sais dénombrer).
A+

damien

Invité

Re : denombrement, tirage avec remise [Résolu]

Salut,

J'ai pas encore eu le temps de changer mes fichiers matlab pour tout tester d'un coup, ms je vai le faire bientot et je te tiens au courant.

En tout cas merci pour tes infos.

A+