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Mouss

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Theoreme valeurs intermediaires

Bonjour,

si on a f(x)=k et que f est continue sur [a;b] mais que k n'appartient pas à [f(a);f(b)] est ce qu'on doit dire que f(x)=k n'a pas de solution ou dire qu'on ne sait pas s'il y a des solutions ou non ...

Merci d'avance !

Zebulor

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

Bonjour Mouss,
sans autre hypothèse on ne peut pas savoir si cette équation présente des solutions.

Eust_4che

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

Attention Mouss, ne confond pas f([a, b]) qui est l'image du segment [a, b] et l'ensemble [f(a), f(b)] qui est peut-être vide (si f(b) < f(a)). Le TVI nous dit que f([a, b]) est un intervalle, mais il ne dit rien sur [f(a), f(b)], sinon que c'est une partie de f([a, b]).
Par exemple, la fonction [0, 1] -> R, x -> x(1-x) est une fonction continue. Les images sont comprises entre 0 et la valeur max (que je te laisse trouver). Ce que nous dit donc le TVI, c'est que pour toute valeur y comprise entre 0 et max, il existe une solution à l'équation f(x) = y, avec x dans [0, 1].

Mouss

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

Merci pour vos reponses.
Jai enfin compris la difference entre [f(a),f(b)] et f([a,b]). fest continue.
Du coup si k est dans f([a,b]) alors il y a au moins une solution.
si k nest pas dans f([a,b]) alors il ny a pas de solution.

Alors que si k n'est pas dans [f(a),f(b)] on ne sait pas sil y en a ou pas ...

Est ce que jai bien compris ?
Mais jai un autre probleme, cest que le TVI dans mon cours et mon manuel est ecris avec cette condition k appartient à [f(a),f(b)] ... est ce un cas particulier ?

Zebulor

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

Bonjour Mouss,

Du coup si k est dans f([a,b]) alors il y a au moins une solution.

..au moins une solution dans [a,b]

si k nest pas dans f([a,b]) alors il n y a pas de solution.

il n y a pas de solution dans [a,b] également.

Pour le reste le mieux est peut être d écrire ici ton TVI ?

Dernière modification par Zebulor (15-12-2021 08:08:58)

Mouss

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

Merci :)

Alors voici le TVI :
On considere une fonction f definie est continue sur [a,b]. Pour tout reel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un reel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

Zebulor

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Re : Theoreme valeurs intermediaires

re Mouss,
pour répondre à ton post 4, je ne pense pas que ce soit un cas particulier. Je vois qu'il y a plusieurs versions de ce théorème dont celle ci :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … alint.html

qui, d'après mon humble avis revient au même que le TVI que tu as écrit.