Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freak

Membre

Inscription : 07-05-2006

Messages : 10

forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Bonjour,
Ca fait quelque jour que je sèche sur un exercice d'application du lemme de schwarz.

Dans un premier temps on introduit une fonction du disque unité, D, dans lui même:
si a est dans D, on définit Phi_a (z) =(a-z)/(1-{a}z) où {a} est le conjugué de a (désolé pour la notation...)

On montre que Phi_a est une involution de D dans D.

On considère ensuite une fonction holomorphe de D et on souhaite montrer que pour tout a et b dans D on a:
module ((f(b)-f(a))/(1-{f(b)}f(a))) <= module ((b-a)/(1-{b}a))
Si je reformule avec Phi cela donne:
module (Phi_f(b) (f(a))) <= module (Phi_b (a))

Il s'agit je pense de trouver une fonction holomorphe qui s'annule en zéro et qui en Phi_b (a) vaut Phi_f(b) (f(a)). Le lemme de Schwarz appliqué au point Phi_b (a) permettra de conclure.
Mon problème est de trouver la bonne fonction.

Pour ceux qui ont le livre d'Amar et Matheron, Analyse complexe, ce sont les exercices 4.46 et 4.64.

Merci d'avance pour vos réponses.
Freak

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Hello,
Personne sur ce coup là ?
As-tu trouvé freak ?
A+

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Hello,
Genre Phi_f(b) o f o Phi_b ?
++

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Bonjour à tous,
Pour Barbichu : Le Pb. c'est que f peut nous faire sortir de (D). En effet, f € H(D) mais sans préciser f : (D) -> (D).
Dans ces conditions Phi_f(b) o f o Phi_b peut avoir un pôle dans (D) et le lemme ne s'applique plus.
Mais je peux me fourvoyer car je suis en limite de ce qu'il me reste de connaissances sur le sujet.
A+

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Hello john,
je suis d'accord avec toi, cependant on constate que l'inégalité voulue est fausse si l'on ne se restreint plus à f de (D) dans lui-même.
En effet, sauf erreur de calcul, on a le contre-exemple suivant :
On prend f : z -> z+1 (trivialement holomorphe sur D), a=1/2, b=0
On obtient :
Phi_b(a) = Phi_0(1/2) = (0- 1/2)/(1 - 0*1/2) = -1/2
Phi_f(b) (f(a)) = Phi_1 (3/2) = (1- 3/2) / (1- 1*3/2)  = 1
d'où |Phi_f(b) (f(a))| > |Phi_b(a)|

++

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

Salut à tous,
Merci pour cette confirmation Barbichu. En conclusion, l'inégalité proposée est vraie pour les fonctions holomorphes de (D) dans (D) avec (D) ouvert.
A+

freak

Membre

Inscription : 07-05-2006

Messages : 10

Re : forme invariante du lemme de schwarz [Résolu]

merci pour ces réponses. J'avais fini par trouvé la même chose aussi.
a+
freak