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#1 03-12-2021 19:23:10
- pentium mix
- Membre
- Inscription : 27-10-2020
- Messages : 161
groupe des unités
Bonsoir
S'il vous plaît comment montrer que pour p un nombre premier impair U(Z/p^nZ) est cyclique et pour le cas p=2, il est isomorphe a Z/2*Z/2^(n-2)
Merci d'avance
Hors ligne
#2 03-12-2021 22:44:51
- Paco del Rey
- Invité
Re : groupe des unités
Bonsoir.
Cela n'a rien d'évident. Voici comment Apostol s'y prend. Il démontre que
1. si $\bar a$ engendre $U(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ alors $\bar a$ engendre $U(\mathbb Z/p^n\mathbb Z)$ pour tous $n\geqslant 2$ si et seulement si $a^{p-1} \not\equiv 1 \mod p^2$.
2. il existe au moins un entier $a$ qui vérifie $a^{p-1} \not\equiv 1 \mod p^2$.
Tu peux jeter un coup d'oeil au Lemme de Hensel
Paco.
Tom Apostol Introduction to Analytical Number Theory Springer 1976
Pages : 1