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jeanlouis49

Invité

équation ellipse

bonjour à toutes et tous

je sollicite votre aide car je me casse les dents depuis plusieurs longues heures et plusieurs jours sur un problème résolu du livre Schaum "Calcul différentiel et Intégral" chapitre 5 Equations et graphes.
il s'agit du problème N° 7 qui part de la définition géométrique d'une ellipse pour en retrouver l'équation. C'est le calcul intermédiaire qui n'est pas décrit que je recherche.
je cite le texte : "...Après avoir réarrangé les termes de cette équation, nous élevons au carré ses 2 membres (pour éliminer les racines carrées), puis, après simplifications nous obtenons..."
je n'arrive pas à faire disparaître ces 2 racines pour tomber finalement sur l'équation caractéristique de l'ellipse.
je vous joins le lien vers le texte intégral de ce problème :
http://fotoforum.fr/photos/2021/11/24.6.jpg

je vous remercie pour votre aide
jlouis49

Black Jack

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Re : équation ellipse

Bonjour,

Je le fais puisque tout est quasi fait dans le livre sauf une petite manipulation.

Si ce n'est pas admis pour réponse trop complète ... la modération pourra supprimer ma réponse.

[tex]\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2+y^2}[/tex]

On élève les 2 membres au carré ...

[tex](x-c)^2+y^2 = 4a^2 + (x+c)^2+y^2 - 4a.\sqrt{(x+c)^2+y^2}[/tex]

On développe les carrés et on simplifie et on regroupe les termes identiques et on arrive à :

[tex]4c.x + 4a^2 = 4a \sqrt{(x+c)^2+y^2}[/tex]

[tex]c.x + a^2 = a \sqrt{(x+c)^2+y^2}[/tex]

On élève les 2 membres au carré ...

[tex]c^2x^2 + a^4 + 2a^2cx = a^2*((x+c)^2+y^2)[/tex]

[tex]c^2x^2 + a^4 + 2a^2cx = a^2*(x^2+c^2+2cx+y^2)[/tex]

[tex]x^2(c^2-a^2) + a^2(a^2-c^2) = a^2.y^2[/tex]

[tex](a^2-c^2)x^2 + a^2.y^2 = a^2(a^2-c^2)[/tex]

jlouis49

Membre

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Re : équation ellipse

bonjour
eh bien merci beaucoup.
j'ai sans doute voulu inconsciemment suivre trop au pied de la lettre ce qui était indiqué car c'est donc 2 fois successivement qu'il fallait procéder à l'élévation au carré et non pas 1 fois.
je vais pouvoir continuer à avancer grâce à vous cet intéressant chapitre sur les sections coniques
merci et à bientôt
jlouis49