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MissCocktail22

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Probabilités [Résolu]

Bonjour à tous,
je passe un concours bientôt et pour m'exercer, je fais les annales des années précédentes. Le souci est que je n'ai pas les corrigés.
Voici un exercice de probabilités que je peine à résoudre (les probas ne sont pas mon point fort!):
"Une urne contient 4 boules blanches et 2 noires indiscernables au toucher. On effectue au hasard un premier tirage de 2 boules de l'urne.
On note A0 l'événement: "on n'a obtenu aucune boule noire" 
            A1 l'événement: "on a obtenu une seule boule noire" 
            A2 l'événement: "on a obtenu 2 boules noires" 

Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne.
On note B0 l'événement: "on n'a obtenu aucune boule noire au 2e tirage"
            B1 l'événement: "on a obtenu une seule boule noire au 2e tirage"
            B2 l'événement: "on a obtenu 2 boules noires au 2e tirage"
(la notation P{An}(Bk) correspond à la probabilité conditionnelle de Bk sachant An)

1- On a: A) P(A0)= 2/5 P(A1)=8/15 P(A2)=1/15
             B) P(A0)= 1/15 P(A1)=8/15 P(A2)=2/5
             C) P{A0} (BO)=1/6 ; P{A1} (BO)=1/2 ; P{A2} (BO)=1
             D) P{A0} (BO)=1 ; P{A1} (BO)=1/2 ; P{A2} (BO)=1/6
             E) aucune des réponses n'est bonne

2- On obtient: A) P(B0) = P( A0 inter B0)+P( A1 inter B0)+P( A2 inter B0) car B0 est la réunion des événements indépendants  A0 inter B0,
                         A1 inter B0,et A2 inter B0
                     B) P(B0) = 2/5 ; P(B1)= 8/15 ; P(B2)=1/15
                     C) P{B1}(A1) = 1/2
                     D) P{B1}(A1) = 1/4
                     E) aucune des réponses n'est bonne "

Pour la 1ere question, je répondrai B et C. Mais je seche pour la 2e.
Merci d'avance pour votre aide!

john

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Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Probabilités [Résolu]

Bonsoir,
Vu ta réponse fausse à la question 1, je ne suis pas certain que les bonnes réponses t'aideront à comprendre. En revanche, s'il te reste un peu de temps avant ce concours, il serait préférable de traiter ce Pb. sérieusement, car c'est un classique. On peut t'aider...
La technique consiste à dessiner un arbre d'événements et à évaluer la proba. de chaque branche.
Avec 4B + 2N dans l'urne, le tirage 1 a pour résultats possibles :
- N avec p(N) = 2/6
- B avec p(B) = 4/6
Si l'issue du 1er tirage est N, il reste 4B+N dans l'urne et le tirage 2 a pour résultats possibles :
- N avec p(N) = 1/5
- B avec p(B) = 4/5
Si l'issue du 1er tirage est B, il reste 3B+2N dans l'urne et le tirage 2 a pour résultats possibles :
- N avec p(N) = 2/5
- B avec p(B) = 3/5
etc.
Avec cet arbre partiel, tu peux déjà obtenir facilement la proba. des événements :
>> A0 (pas de N à ces 2 tirages). Il suffit de suivre les branches B au tirage 1 et B au tirage 2 et de multiplier les probabilités associées à ces branches soit (4/6)*(3/5) = 2/5 ;
>> A1 (2 boules de couleurs différentes). Il y a 2 chemins qui donnent ce résultat (soit N puis B, soit B puis N). On additionne les proba. de chaque chemin => (2/6)*(4/5) + (4/6)*(2/5) = 8/15 ;
>> A2 (2N) => (2/6)*(1/5) = 1/15.
Comme il n'y a que 3 résultats possibles en tirant 2 boules (soit 2N, soit 2B, soit 2 boules différentes), la somme des probabilités de ces événements est de 1. On vérifie que p(A0) + p(A1) + p(A2) = 2/5 + 8/15 + 1/15 = 1.
Bon courage.
A+