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Chlore au quinoa

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Aire surface de révolution

Bonsoir tout le monde !

Bon première participation depuis plusieurs mois (je vous ai manqué ?), et premier post pour demander de l'aide !

En ce moment je prépare une présentation sur quelques curiosités et paradoxes mathématiques afin de sensibiliser les gens à la beauté de ce domaine, et j'inclue dans cette présentation la "trompette de Gabriel".

Il s'agit de la révolution autour de l'axe $[Ox)$ de la courbe d'équation $y=\dfrac 1x$ entre $x=1$ et $+\infty$.
Le but est de montrer que sa surface est infinie, et son volume fini. Donc impossible de la peindre.... Mais on peut la remplir avec un volume fini de peinture ? Bizarre non ? Bref je m'égare.

En voulant calculer l'aire de ladite trompette entre $x=1$ et disont $x=a>1$, la formule était pour moi $\displaystyle\int_1^{a}2\pi\Big(\dfrac {\text{d}x}x\Big)$ : en effet, j'intégrerais entre $1$ et $a$ tous les cercles de périmètre $\dfrac{2\pi}{ x}$ (le rayon de chaque cercle est $\dfrac 1x$). L'intégrale diverge bien quand $a\to+\infty$, tout est ok.

Cependant, j'ai découvert que c'était faux ! La formule serait $\displaystyle\int_1^{a}2\pi\Bigg(\dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x^2}\Bigg)\text{d}x$ ! Et je ne vois pas pourquoi. La réponse est probablement toute bête, je vois dans l'expression un truc faisant apparaître la dérivée de $f:x\,\mapsto\,\dfrac 1x$ mais juste je ne vois pas d'où ça vient...

Merci d'avance !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (14-11-2021 01:01:48)

Fred

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Re : Aire surface de révolution

Salut,

  Oui, tu nous as manqué!
As-tu essayé d'appliquer le théorème de Guldin
qui devrait répondre à ton problème?

F.

Zebulor

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Re : Aire surface de révolution

Salut Chloreauquinoa!
Dans la lignée de Fred que je salue, si çà peut t'aider j'ai trouvé ceci :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12784

Chlore au quinoa

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Re : Aire surface de révolution

Bonjour Fred et Zebulor, et merci pour la réponse !

J'ignorais l'existence de ce théorème ! Plutôt sympathique.

Ce qui me coince quand je veux exprimer les coordonnées du centre de gravité de la courbe pesante (supposée homogène : $m=\lambda l$), j'ai un petit $\text dl$ qui me sert d'élément d'intégration, et je n'arrive pas à l'exprimer en fonction de $x$ et $y$...

Adam

Zebulor

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Re : Aire surface de révolution

re,
ton $dl$ ne serait pas quelque chose du genre $\sqrt{dx^2+dy^2}$ ?

Chlore au quinoa

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Re : Aire surface de révolution

Re,

En soi si, si on considère que les $d$bidule sont des longueurs infinitésimales ça marche... Mais comment intégrer avec des racine de $dx^2$ ??

Zebulor

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Re : Aire surface de révolution

re,
si tu factorises le radicande par $dx^2$ , $dl=dx\sqrt{1+\frac{dy}{dx}}$, où $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ quelque chose comme çà..

Chlore au quinoa

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Re : Aire surface de révolution

Du coup je vais retourner en première hein on fait ça ?
Merci beaucoup Zebulor et Fred !

Je vais sortir crier un coup et reprendre ça haha !

A+ !

Adam