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David007

Invité

Les suites de nombres

Bonjour,
J'ai un DM de math qui me perturbe un peu.
En voici l'énoncé :
Quatres figures fournissent les quatre premiers nombres octogonaux
1, 8, 21 et 40 : chaque nombre octogonal est le nombre de points dans la figure
correspondante. Quel est le 10ème nombre octogonal ?

Nous devons donc trouver une formule pour le terme général et fournir une démarche qui nous a permis de la trouver et aussi le 10eme terme de cette suite.

Jusqu'à présent j'ai trouvé une formule qui doit obligatoirement utiliser le terme précédent, ce qui je suppose est mauvais. Si vous saviez m'aider à avoir une formule utilisant le premier terme ou bien la formule du terme général j'en serai reconnaissant. L'on m'a déjà donné plusieurs formules mais elles n'étaient soit pas du niveau de 1ère soit pas possible à démontrer.

Merci d'avance

Fred

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Re : Les suites de nombres

Bonjour

  Sans avoir les figures c'est difficile de t'aider. Maintenant si tu as une formule qui utilise un des termes précédents ça doit te permettre sans problèmes de calculer le 10eme nombre octogonal. Quelle est cette formule?

F.

yoshi

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Re : Les suites de nombres

Bonsoir,

J'ignorais ce qu'était un nombre orthogonal mais 1 min de recherche m'a permis de trouver...

Voilà ce qui figure sur le site de Géerard Villemin :
https://zupimages.net/up/21/44/qrys.jpg

Langage Python avec utilisation de la méthode des listes écrites en compréhension...
Voilà les 25 premiers :

>>> L=[i*(3*i-2) for i in range(1,26)]
>>> L
[1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825]
 

Qui peut se traduire ainsi :
Ranger dans la liste L, i étant le n° d'ordre du nombre, la succession des nombres égaux à i*(3*i-2) pour i variant de 1 à 25 (oui, c'est écrit 26, mais en Python la borne d'arrêt est exclue, donc i prend toutes les valeurs de 1 à 25 inclus)

le 4e est :
i=4, 4(3*4-2)=4 * 10 = 40

le 7e est :
i=7, 7*(3*7-2) =7*19 = 133

le 15e est :
i=15, 15*(3*15-2)= 15 * 43 = 645

Maintenant il faut établir la formule, donc justifier  qu'elle est toujours vraie...
Pas vraiment évident....

rang      1   2   3   4
nombre    1   8  21  40

Je n'ai plus de temps ce soir, je réfléchirais demain (que ça ne t'empêche pas de chercher aussi)

@+

David007

Invité

Re : Les suites de nombres

J'avais justement trouvé cette formule mais je l'ai laissé tomber puisque je n'arrive pas à justifier comment j'y suis arriver. Et pour répondre à Fred ma formule est tn = tn-1 + 6n - 5

Fred

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Re : Les suites de nombres

Bonjour,

  As-tu appris ce que valait la somme des n premiers entiers, 1+2+...+n???

F.

David007

Invité

Re : Les suites de nombres

Non je ne l'ai pas appris. Mais est-ce que la somme de la suite est nécessaire dans ce cas ci ?

Fred

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Re : Les suites de nombres

Si tu veux une formule exacte pour $t_n$, qui ne dépend que de $n$, oui, tu as besoin de quelque chose comme cela.
Mais ici, je pense qu'on attend de toi la formule de récurrence, et comment tu peux calculer $t_{10}$ à l'aide de cette formule.

F.

yoshi

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Re : Les suites de nombres

Salut,

J'ai beaucoup réfléchi à la justification.
De toutes façons, quoi qu'on fasse, ce sera toujours comme sortir un lapin d'un chap : il aurait été un minimum d'ajouter 64 après 40, parce que le 1 ne sert pas à grand chose.
Je vais tenter de l'exploiter quand même...
1    (+7)       8    (+ 13 )      21     (+19)     40

7  =  6+1
13 = 12+1
19 = 18 +1

Moi, ça me permet de supposer le suite 6 , 12, 18, 24...  avec comme  conséquence  un +25  qui amène à 65 comme suivant de  40.
Je vais me servir de ce 65 pour corroborer la supposition finale...
Remarques 

Rang i             1           2          3          4            5
Nombre             1           8         21         40           65
Produit          1 * 1       2 * 4      3 * 7      4 * 10       5 * 13
Multiple de        1           2          3          4            5

Maintenant, j'examine   1, 4, 7, 10 et 13  j'en conclus que :
  1    multiple de 3 + 1  (0 * 3 + 1)
  4    multiple de 3 + 1  (1 * 3 + 1)
  7    multiple de 3 + 1  (2 * 3 + 1)
10    multiple de 3 + 1  (3 * 3 + 1)
Mais je constate que   0, 1, 2, 3 sont en retard de 1 sur les rangs.
Donc je change mon fusil d'épaule : quel que soit le multiple de 3 +1  3n+1, je peux aussi le voir comme le multiple suivant de 3, -2 :
3(n+1)-2 = 3n + 3- 2 = 3n+1

  1    multiple de 3 + 1  (1 * 3 - 2)
  4    multiple de 3 + 1  (2 * 3 - 2)
  7    multiple de 3 + 1  (3 * 3 - 2)
10    multiple de 3 + 1  (4 * 3 - 2)

Et c'est vrai aussi pour 65 =  5 * 13 = 5*(3 *5 -2)  d'où le i*(3*i-2)....

Quant à ta formule : $t_n=t_{n-1}+6n-5$ , tu la sors aussi de ton chapeau, tu l'as trouvée quelque part, pas établie...
Je pense que je peux reprendre mon début, mais il est nettement plus difficile de voir que 7 = 12 - 5 que 7 =  9 - 2
Je m'y attelle...

@+

yoshi

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Re : Les suites de nombres

Bonjour,

https://www.maths-forum.com/lycee/suite … 48117.html
Je me disais aussi...
En cherchant un peu, je l'ai trouvé : et un de plus à ajouter à la liste de ceux qui mangent à plusieurs râteliers... : personnellement
Monsieur poste chez nous  le 07/11 à 16 h 04 min 08 s....
Puis,  estimant que 2 h après, n'ayant pas de réponse, il se dit qu'il vaut mieux poster ailleurs à 18 h 21 ?

En tout cas,  sache que poster le même sujet  sur deux (voire plus) forums différents, c'est "moyennement" apprécié.
Personnellement, je n'apprécie pas, mais alors pas du tout...

On choisit un forum et on s'y tient !

@+

[EDIT]
Allez, une cerise sur le gâteau :
https://sosmath.ac-poitiers.fr/viewtopic.php?t=20295

Dernière modification par yoshi (09-11-2021 11:14:32)