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Pages : 1
#1 24-09-2021 09:56:05
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 913
polynôme complexe borné
Bonjour,
Peut-on montrer sans utiliser le théorème de Liouville que tout polynôme de [tex]\mathbb{C}[/tex](identifié à sa fonction associé) borné
sur [tex]\mathbb{C}[/tex] est constant, à l'instar des polynômes réels ?
Alain
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#2 24-09-2021 10:28:21
- Paco del Rey
- Invité
Re : polynôme complexe borné
Bonjour bridgslam
Inégalité triangulaire ?
Paco.
#5 24-09-2021 11:30:29
- Paco del Rey
- Invité
Re : polynôme complexe borné
Supposons $P = \sum\limits_{k=0}^n a_kX^k$ avec $a_n\neq0$ et $n>0$.
On suppose $\forall z \in \mathbb C, \; \vert P(z) \vert \leqslant M$.
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n} \leq M + \sum\limits_{k=0}^n \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.
On peut remplacer $\mathbb C$ par n'importe quelle partie de $\mathbb C$ non bornée.
Paco.
#6 24-09-2021 11:34:22
- Paco del Rey
- Invité
Re : polynôme complexe borné
Même si ce que j'ai écrit précédemment n'est pas faux, il vaut mieux lire :
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n} \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
ce qui n'est pas possible.
Paco.
#7 24-09-2021 12:32:21
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 913
Re : polynôme complexe borné
Bonjour Paco,
Sauf erreur tu utilises la majoration par M de la somme des modules des monômes.
Or on sait seulement que c'est le module de la somme des monômes qui est majoré... pas pareil.
Alain
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#8 24-09-2021 12:48:12
- Paco del Rey
- Invité
Re : polynôme complexe borné
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k \, z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
\vert a_n z^n \vert &\leq \vert P(z) \vert + \left\vert \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k \, z ^{k} \right\vert\\
&\leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.
Paco.
#9 24-09-2021 13:00:17
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 913
Re : polynôme complexe borné
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$,
$a_nz^n = P(z) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k \, z ^{k}$
Donc
[tex]
\begin{align*}
... + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k}
\end{align*}
[/tex]
etc.Paco.
Cela revient à ce que j'ai dit, comment majores-tu ensuite ton expression ( avec le module de z au moins égal à 1)...?
Voie sans issue sans autre hypothèse supplémentaire...
Alain
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#10 24-09-2021 13:12:02
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 913
Re : polynôme complexe borné
Ce qui est vrai ( pas de [tex]|z|[/tex] en facteur du terme de gauche )
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \ \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n} \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
inégalité qui n'apporte rien puisque l'expression de gauche est une constante, rien de contradictoire.
Un module de z malencontreux ( qui aurait bien arrangé les choses ) a du se glisser dans ton écriture.
Alain
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#11 24-09-2021 13:37:07
- Paco del Rey
- Invité
Re : polynôme complexe borné
Au temps pour moi, je n'ai pas divisé par la bonne puissance de $\vert z \vert$
On a pour tout $\vert z \vert \geq 1$.
$\vert a_n \vert \,\vert z \vert \leq \frac{M}{\vert z \vert^{n-1}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert \, \vert z \vert^{k-n+1} \leq M + \sum\limits_{k=0}^{n-1} \vert a_k \vert $
car toutes les puissances de $\vert z \vert$ sont négatives ou nulles.
Enfin on fait tendre $\vert z \vert$ vers $+\infty$ pour obtenir une contradiction.
Paco.
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