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Cr0c0M3chn

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Une algèbre nilpotente

Bonjour,
J'essaye de résoudre un problème, mais je suis bloqué à la première question...
En voici l'énoncé :
Soit E un C ev de dimension finie, et A une sous algèbre nilpotente de L(E).
Montrer qu'il existe W un sev non nul de E, de dimension minimale, stable par tout élément f de A.
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

F_Adrien

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Re : Une algèbre nilpotente

Bonjour Cr0c0M3chn,

Bonjour,
J'essaye de résoudre un problème, mais je suis bloqué à la première question...
En voici l'énoncé :
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-ev de dimension finie $n>0$, et $\mathcal{A}$ une sous algèbre nilpotente de $\mathcal{L}\left(E\right)$.
Montrer qu'il existe un sev non nul $W$ de $E$, de dimension minimale, stable par tout élément $u\in\mathcal{A}$.
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

Voici un premier indice :

▼Indice 1 :

Notons $r$ l'ordre de nilpotence de $\mathcal{A}$ c'est-à-dire le plus petit entier $r>0$ tel que la composée de $r$ éléments (ou plus) quelconque de $\mathcal{A}$ est l'application nulle :

• Que dire si $r=1$ ?

• Lorsque $r>1$, l'ordre de nilpotence de $\mathcal{A}$ n'étant pas de $r-1$, comment le traduire en terme de composée d'éléments de $ \mathcal{A}$ ?

bridgslam

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Re : Une algèbre nilpotente

Bonjour,

En suivant l'idée de F_Adrien, qui a été de bon conseil, tu peux montrer qu'il existe une droite vectorielle [tex]\Delta : u(\Delta) = \{0\} \;\; \forall u \in L(E)[/tex]
il suffit d'écrire la propriété, de la lire,  en faisant intervenir l'indice de nilpotence.
D'où le résultat immédiatement ( et même un peu plus fort que le résultat annoncé ) .

Alain

Cr0c0M3chn

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Re : Une algèbre nilpotente

Bonjour Cr0c0M3chn,

Bonjour,
J'essaye de résoudre un problème, mais je suis bloqué à la première question...
En voici l'énoncé :
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-ev de dimension finie $n>0$, et $\mathcal{A}$ une sous algèbre nilpotente de $\mathcal{L}\left(E\right)$.
Montrer qu'il existe un sev non nul $W$ de $E$, de dimension minimale, stable par tout élément $u\in\mathcal{A}$.
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

Voici un premier indice :

▼Indice 1 :

Notons $r$ l'ordre de nilpotence de $\mathcal{A}$ c'est-à-dire le plus petit entier $r>0$ tel que la composée de $r$ éléments (ou plus) quelconque de $\mathcal{A}$ est l'application nulle :

• Que dire si $r=1$ ?

• Lorsque $r>1$, l'ordre de nilpotence de $\mathcal{A}$ n'étant pas de $r-1$, comment le traduire en terme de composée d'éléments de $ \mathcal{A}$ ?

$r=1$ implique que $ \mathcal{A} = {0_E}$
Sinon soit une composition $g$ de $r-1$ éléments de $ \mathcal{A}$ et non identiquement nulle, alors pour tout éléments $u\in\mathcal{A}$, la composée de $u$ et de $g$ vaut l'application nulle donc Im(g) convient. Merci !
Je ne connaissais pas l'existence d'un tel indice, mais il me semble après coup que par exemple, la dimension de E convient. Cependant, le fait que l'on puisse déduire aussi vite le résultat que pour toute application dans $u$, u(Im(g)) = {0} me mène à penser que l'exercice ne voulait pas que l'on passe par ce chemin, le but de l'exercice étant justement de montrer ce lemme, cet exercice comprenant 2 questions de plus que celle sur laquelle je bloquais.
Merci quand même et bonne soirée.

bridgslam

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Re : Une algèbre nilpotente

Bonjour,

Rien ne dit que ton im(g) est de dimension minimale. Autant prendre carrément l'espace E tout entier dès le départ, stable par tout endomorphisme u.
Il faudrait prendre l'intersection de la famille (non vide puisqu'il a un au moins) des sev stables par tout u, pour qu'elle soit de dimension minimale
Mais tu ne peux pas dire alors qu'elle ne se déduit pas à {0}. Nouvel écueil...

Moi je prends [tex]u_1 , .... , u_{r-1}[/tex] et x de E tels que  [tex]u_1 ... u_{r-1} (x) [/tex] soit non nul.
C'est possible car r est le plus petit entier de nilpotence.

En posant [tex] D = Vect( u_1 ... u_{r-1} (x) ) [/tex] , l'image de cette droite vectorielle D est {0} par tout u, et difficile de faire plus petit
en dimension qu'une droite vectorielle (sauf {0} qui est trivial ).

Alain

Dernière modification par bridgslam (20-08-2021 13:46:36)