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MathildeLMZDC

Invité

Limite

Bonjour, je suis en train de préparer mon grand oral mais j'ai une impace ... .
Je dois trouver la limite de :
b(t) = 1/(ke^{-k_1x}-(k_2/k_1)).
b représente la modélisation de l'évolution d'une population de bactéries (on utilise le modèle de Verhulst). k_1 est la natalité et k_2 la mortalité.
Je sais que la limite de b(t) =-k_2/k_1 mais je ne comprends pas comment calculer la limite quand il nous reste ça.

Voila.
Bien cordialement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Bonjour,

1. Est-ce bien cela ta formule :
$b(t) = \dfrac{1}{ke^{-k_1x}-\frac{k_2}{k_1}}$ ?

2. Et le x là-dedans, il fait quoi ?
    b(x) alors ?

3.

Je sais que la limite de b(t)

lorsque x tend vers $+\infty$ ?

@+

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

1. Oui c'est exactement ça.
2. En effet, ce n'est pas un x mais un t.
3. Oui, c'est quand x tend vers +oo.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Re,

Je ne comprends pas très bien la distinction entre t et x, mais après tout, si toi ça ne te dérange pas, pourquoi me prendrais-je le chou pour ça ?
Quand $x\to +\infty$, alors $-k_1x \to -\infty$... Et $\lim\limits_{x\to +\infty}  e^{-k_1x} = 0$

Et donc : $\lim\limits_{x\to +\infty} \left( e^{-k_1x}-\dfrac{k_1}{k_2}\right)= -\dfrac{k_1}{k_2}$

Et enfin :
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{ e^{-k_1x}-\dfrac{k_1}{k_2}}=\dfrac{1}{-\dfrac{k_1}{k_2}}=-\dfrac{k_2}{k_1}$

Et inutile de poster 2 fois le même sujet (et avec le même souci avec t et x !...)
Donc je l'ai supprimé.

@+

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

Re,
En fait, je sais que la limite de b(t) = -k_2/k_1 mais pour mon Grand Oral il faut que je donne un nombre. Vers quoi tent b(t). Et c'est là que je bloque car je ne comprends pas ...

En fait j'ai reçu un mail pour me dire que je n'avais pas posté mon message correctement du coup j'ai préféré le refaire. Désolé ...

Bien cordialement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Re,

Alors il serait peut-être quand même temps de mettre un peu d'ordre...
Tu as persisté à dire que
$b(t)= \dfrac{1}{e^{-k_1x}-\dfrac{k_1}{k_2}}$
donc je repose ma question  ;
que fait là soit le t, soit le x ?
Ce ne serait pas, par hasard, soit :
$b(t)= \dfrac{1}{e^{-k_1t}-\dfrac{k_1}{k_2}}$
soit
$b(x)= \dfrac{1}{e^{-k_1x}-\dfrac{k_1}{k_2}}$

Lequel est le bon  ?

Limite de b(t) ? oui, mais dans l'expression de b(t) il n'y a pas de t...
Alors, je suis désolé, en l'état je pense ne pas être assez malin pour te répondre...

Et on te demande un nombre ??
Veux-tu bien recopier in extenso, à la virgule près, ton énoncé jusqu'à cette question
$k_1$ et $k_2$ représentent des nombres , donc $-\dfrac{k_2}{k_1}$ aussi, non ?

Si tu n'as pas de valeurs numériques pour $k_1$ et $k_2$, comment veux-tu obtenir une valeur numérique pour cette limite ?

Ou alors, quelque chose t'a échappé dans l'énoncé, raison de plus pour qu'on puisse lire le vrai, pas ton "résumé"...

Si quelqu'un passe et a les idées plus claires que moi, qu'il veuille bien nous faire profiter de ses lumières...
Merci d'avance.

@+

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

Rebonjour,
Voici mon énoncé de Grand Oral :
"J’aurais voulu travailler sur les modèles mathématiques qui prévoient les impacts du réchauffement climatique mais les notions mises en jeu dépassent le programme. Je me suis donc intéressée à la modélisation de l’évolution d’une population de bactéries dont la croissance et la mortalité dépendent des conditions de température et de ressources notamment. Ces modèles pouvant être validés par des expériences en laboratoire.

Imaginons donc une populations de bactéries comprenant 1 individu à l’instant initial et notons b(t) la fonction donnant le nombre de bactéries à l’instant t.

La fonction b est d’après le modèle de Verhulst est solution de l’équation différentielle dite logistique du type b’(t) = k_1* b(t) + k_2 *b^2(t) où k_1 et k_2 sont deux nombres qui sont calculés grâce à la connaissance de l’accroissement et la mortalité des bactéries.

Cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants mais elle n’est pas linéaire (il y a un carré) donc on doit pour la résoudre envisager un changement d’inconnue et poser f(t) = 1/b(t)."

Et c'est bien b(t) mais le x apparaît avec l'équation différentielle. Si vous voulez, vous pouvez me contacter par email pour que je puisse vous envoyer mes calculs en image car je ne peux pas inclure d'image ici.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

RE,

je ne peux pas inclure d'image ici.

Oui et non

Dépose ton image ici https://www.cjoint.com
Valide et tu obtiendra un code (un lien) à copier dans ton prochain message...
Et on ira voir tes calculs...

@+

Black Jack

Membre

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Re : Limite

Bonjour,

En résolvant  b’(t) = k_1* b(t) + k_2 *b^2(t) avec la condition initiale b(0) = 1, je trouve :

[tex]b(t) = \frac{1}{\frac{k_1+k_2}{k_1}.e^{-k_1*t} - \frac{k_2}{k_1}}[/tex]

... qui est bien ce que tu as proposé si on tient compte de la condition initiale b(0) = 1 pour calculer la valeur de k dans l'expression qui tu donnes.

Dans le modèle de Verhulst, mis sous la forme que tu donnes (qui n'est pas la plus courante), k1 est une constante positive et k2 est une constante négative.

k1.b(t) étant le taux de natalité en fonction de la population b
-k2.b(t) étant le taux de mortalité en fonction de la population b

On peut poser k1/k2 = -K (avec la relation que tu as employée) et on arrive alors à :

[tex]b(t) = \frac{1}{(1-\frac{1}{K})*e^{-k_1*t} + \frac{1}{K}}[/tex]

[tex]b(t) = \frac{K}{(K-1).e^{-k_1*t} + 1}[/tex]

K est la valeur de la population atteinte en temps long (en partant d'un seul individu en t = 0)

Pour trouver des valeurs numériques "plausibles" pour k1 et k2, il faut faire le problème "à l'envers", c'est à dire estimer une valeur plausible de population finale (en temps long), par exemple 10^6 ...

Donc alors K = 10^6 et k1/k2 = - 10^6 (avec k1 > 0 et k2 < 0)

La valeur de k1 peut être estimée via une constante de temps "plausible" pour tendre vers la population stabilisée (tau = 1/k1)

...

Sauf déconnade de ma part.

Dernière modification par Black Jack (14-06-2021 08:55:11)

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

https://www.cjoint.com/c/KFomeSFsXXO

Voilà ce que j'ai fait. Ma prof ma dit que c'était OK.

A plus.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Re,

Bon, ok...

Et c'est bien b(t) mais le x apparaît avec l'équation différentielle.

Mouais... Je ne vois pas de $x$ dans ce que tu as fait.

En fait, je sais que la limite de b(t) = -k_2/k_1 mais pour mon Grand Oral il faut que je donne un nombre. Vers quoi tent b(t). Et c'est là que je bloque car je ne comprends pas ...

Et il est où ce nombre que tu dois donner ?

@+

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

Justement, il n'y en a pas. C'est pour ça que je n'y arrive pas et que je ne comprends pas.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Bonjour,

J'ai beau relire ton énoncé, je ne vois pas où il est écrit que tu doives donner une réponse numérique...  Est-ce cette fin de phrase qui te fait penser ça :
(...) ) où k_1 et k_2 sont deux nombres qui sont calculés grâce à la connaissance de l’accroissement et la mortalité des bactéries. ?

D'ailleurs je ne vois pas non plus où dans cet énoncé il est demandé de calculer $\lim\limits_{t\to +\infty} b(t)$, je dirais même plus, je ne vois pas de question du tout.
Il est simplement écrit :
Cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants mais elle n’est pas linéaire (il y a un carré) donc on doit pour la résoudre envisager un changement d’inconnue et poser f(t) = 1/b(t)."
ce qui n'est pas une question.
Admettons que ce soit une invitation à ce calcul.
Mais on ne parle pas de limite.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_de_Verhulst
https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/co … rhulst.pdf
Ci dessus, il y a une partie application numérique : chez toi, je n'en vois pas.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … (Verhulst)

BlackJack avait l'air de connaître ce modèle de Verhulst...

@++

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Bonjour,

J'ai beau relire ton énoncé, je ne vois pas où il est écrit que tu doives donner une réponse numérique...  Est-ce cette fin de phrase qui te fait penser ça :
(...) ) où k_1 et k_2 sont deux nombres qui sont calculés grâce à la connaissance de l’accroissement et la mortalité des bactéries. ?

D'ailleurs je ne vois pas non plus où dans cet énoncé il est demandé de calculer $\lim\limits_{t\to +\infty} b(t)$, je dirais même plus, je ne vois pas de question du tout.
Il est simplement écrit :
Cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants mais elle n’est pas linéaire (il y a un carré) donc on doit pour la résoudre envisager un changement d’inconnue et poser f(t) = 1/b(t)."
ce qui n'est pas une question.
Admettons que ce soit une invitation à ce calcul.
Mais on ne parle pas de limite.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_de_Verhulst
https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/co … rhulst.pdf
Ci dessus, il y a une partie application numérique : chez toi, je n'en vois pas.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … (Verhulst)

BlackJack avait l'air de connaître ce modèle de Verhulst...

@++

MathildeLMZDC

Invité

Re : Limite

C'est ma prof qui me demande de faire la limite.
Au pire, je vais essayer de lui demander plus d'informations pour que ça soit claire.

Merci en tout cas de m'avoir aidé. C'est très gentil de votre part.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite

Re,

La limite en écriture littérale, tu l'as.
Pour une limite en valeur numérique, tu as besoin au minimum d'une valeur numérique pour $k_1$ et $k_2$...
Sans cela, sauf à faire des suppositions (cf BlackJack), je ne vois pas comment tu peux la trouver.

@+