Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

espace metrique

Bonjour svp je suis face a un problème et je bloque complètement la question c'est:
Peut on construire une suite ayant 10 valeurs d'adhérence ( respectivement points d'accumulation) et 4 points d'accumulation ( respectivement valeurs d'adhérence)?
Si c'est oui je voudrais bien savoir comment les construisent.
Merci d'avance

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 803

Re : espace metrique

Bonjour,

Pour que je comprenne bien : c'est quoi la différence entre point d'accumulation et point d'adhérence pour une suite ?

Je pense qu'un un point d'accumulation est nécessairement un point adhérent.

J'ai aussi l'impression que tous les éléments $u_n$ d'une suite peuvent être considérés comme des points adhérents...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-06-2021 13:05:41)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : espace metrique

Bonjour

  Je vais te donner un exemple pour commencer : la suite dont tous les termes pairs sont nuls et dont tous les termes impairs sont égaux à 1 possède 2 valeurs d'adhérence et 0 point d'accumulation.

F.

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : espace metrique

a est point d'accumulation si pour tout r positif
{  Xn / Xn € B(a,r)}  est infini

a est valeur d'adhérence si pour tout r positif
{ n / Xn € B(a,r) } est infini

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : espace metrique

Bonjour,

tu peux chercher ( avec un entier naturel m à déterminer ) en direction d'un suite de la forme:

si n est multiple de m ,              [tex]u_n = 1 / n[/tex]
   --------------de m, +1 ,       [tex]u_n =  1 + 1 / n [/tex]
                      de m,  +2 ,       [tex]u_n =  2 + 1 / n[/tex]
     ------------de m,  +3 ,       [tex]u_n =  3 + 1 / n[/tex]

si  ------------de m,  +4 ,       [tex]u_n = 4[/tex]
si  ------------de m,  +5 ,       [tex]u_n = 5[/tex]
si  ------------de m,  +6 ,       [tex]u_n = 6[/tex]
si  ------------de m,  +7 ,       [tex]u_n = 7[/tex]
si  ------------de m,  +8 ,       [tex]u_n = 8[/tex]
si  ------------de m,  +9 ,       [tex]u_n = 9[/tex]

Là je vois 10 valeurs d'adhérence, et 4 points d'accumulation. Quels sont-ils ?

Que penses-tu de l'inverse ?

Sinon attention à ne pas confondre valeur d'adhérence (liée à la suite)  et point adhérent (lié à l'ensemble des images ).
Le vocabulaire est un peu ambigu, il aurait était plus logique de coller les mots : "valeurdadhérence" pour éviter l'amalgame avec
une "valeur" prise par la suite qui soit point adhérent.
Toute valeur d'adhérence est un point adhérent.

Alain

Dernière modification par bridgslam (08-06-2021 13:53:20)

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : espace metrique

Bonjour

  Je vais te donner un exemple pour commencer : la suite dont tous les termes pairs sont nuls et dont tous les termes impairs sont égaux à 1 possède 2 valeurs d'adhérence et 0 point d'accumulation.

F.

Merci
La je pense qu'il existe une suite avec 10 valeurs d'adhérence, 4 points d'accumulation( prendre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2+1/n ,3+1/n, 4+1/n , 5+1/n) dans cet ordre j'ai donné U14n jusqu'à U14n+13 )

Et pour l'autre j'ai aucune idée

Dernière modification par pentium mix (08-06-2021 13:57:31)

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : espace metrique

Bonjour,

tu peux chercher ( avec un entier naturel m à déterminer ) en direction d'un suite de la forme:

si n est multiple de m ,              [tex]u_n = 1 / n[/tex]
   --------------de m, +1 ,       [tex]u_n =  1 + 1 / n [/tex]
                      de m,  +2 ,       [tex]u_n =  2 + 1 / n[/tex]
     ------------de m,  +3 ,       [tex]u_n =  3 + 1 / n[/tex]

si  ------------de m,  +4 ,       [tex]u_n = 4[/tex]
si  ------------de m,  +5 ,       [tex]u_n = 5[/tex]
si  ------------de m,  +6 ,       [tex]u_n = 6[/tex]
si  ------------de m,  +7 ,       [tex]u_n = 7[/tex]
si  ------------de m,  +8 ,       [tex]u_n = 8[/tex]
si  ------------de m,  +9 ,       [tex]u_n = 9[/tex]

Là je vois 10 valeurs d'adhérence, et 4 points d'accumulation. Quels sont-ils ?

Que penses-tu de l'inverse ?

Sinon attention à ne pas confondre valeur d'adhérence (liée à la suite)  et point adhérent (lié à l'ensemble des images ).
Le vocabulaire est un peu ambigu, il aurait était plus logique de coller les mots : "valeurdadhérence" pour éviter l'amalgame avec
une "valeur" prise par la suite qui soit point adhérent.
Toute valeur d'adhérence est un point adhérent.

Alain

Merci bien

Je pense qu'on ne peut pas  trouver une suite ayant plus de point d'accumulation que de valeur d'adhérence car tout point d'accumulation est valeur d'adhérence

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : espace metrique

Bonjour

La je pense qu'il existe une suite avec 10 valeurs d'adhérence, 4 points d'accumulation( prendre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2+1/n ,3+1/n, 4+1/n , 5+1/n) dans cet ordre j'ai donné U14n jusqu'à U14n+13 )

Je ne comprends pas. Quelle est précisément ta suite? Il faut dire u : n  ---> ?  pour tout n....
C'est le but du jeu.

Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : espace metrique

Sinon, peut-être pour mieux fixer les idées:
Une valeur d'adhérence (finie) d'une suite réelle est ( "ou" non exclusif)  :

- ou un point d'accumulation
- ou une valeur prise une infinité de fois par la suite en question.

La suite  (si n > 0) 2n -> 1/(2n) ,  2n+1 -> 0 , et 0 -> 20210608 admet 0 pour seule valeur d'adhérence, qui est (ici) aussi point d'accumulation.
Cette suite tend vers 0.
Néanmoins ce n'est parce-que une suite réelle a une seul valeur d'adhérence (finie) qu'elle converge:
exemple 2k -> 0  2k+1 -> 2k+1 : ici une sous-suite tend même vers l'infini.
C'est vrai par-contre si elle est en plus bornée.
Et donc cette hypothèse supplémentaire  est superflue si on se place dans [tex]\overline{\mathbb{R}}[/tex], puisque toute suite est automatiquement bornée.
Dans cet espace une suite a une limite ( éventuellement infinie) ssi elle a une valeur d'adhérence ( éventuellement infinie) et une seule.
[tex]\overline{\mathbb{R}}[/tex] est en fait le bon "cadre" pour ce qui est des valeurs d'adhérence, lim sup, lim inf.
De surcroît elle en a toujours au moins une...

Alain

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : espace metrique

Bonjour

La je pense qu'il existe une suite avec 10 valeurs d'adhérence, 4 points d'accumulation( prendre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2+1/n ,3+1/n, 4+1/n , 5+1/n) dans cet ordre j'ai donné U14n jusqu'à U14n+13 )

Je ne comprends pas. Quelle est précisément ta suite? Il faut dire u : n  ---> ?  pour tout n....
C'est le but du jeu.

Alain

[tex]U_{14n}=0[/tex]
[tex]U_{14n+1}=1[/tex]
...
...
...
[tex]U_{14n+9}=9[/tex]
[tex]U_{14n+10}= 2+1/n[/tex]
[tex]U_{14n+11}=3+1/n[/tex]
...
[tex]U_{14n+13}= 5+ 1/n[/tex]

Dernière modification par pentium mix (09-06-2021 06:10:38)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : espace metrique

Re,

Désolé je ne connais pas utilisé latex

Quelle piètre excuse...

Et cela :
Code Latex ?
sous le cadre de rédaction des messages, a-t-il rédigé pour faire joli ?

@+

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : espace metrique

Re,

Désolé je ne connais pas utilisé latex

Quelle piètre excuse...

Et cela :
Code Latex ?
sous le cadre de rédaction des messages, a-t-il rédigé pour faire joli ?

@+

Non désolé je vais modifier mon message

Dernière modification par pentium mix (09-06-2021 06:11:22)