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mrini1957

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exercice th des accroissements finis

bonjour
priere  m aider à resoudre cet exercice
f continue sur [ab] derivable sur ]ab[ tq [tex]\forall  x \in [ab]   \mid f'(x)\mid \leq g'(x)[/tex]
on pose  [tex] k(x)=f(x)+g(x) [/tex]   et   [tex] h(x)=f(x)-g(x)[/tex]
1) etudier les variations de h et k
2) en deduire [tex]\mid f(b)-f(a) \mid \leq g(b)-g(a)[/tex]
3) application mq    [tex] arctan\dfrac{1}{2}-arctan\dfrac{1}{8} \leq  \dfrac{3}{8}[/tex]

ce que j ai fait
1) [tex]\forall  x \in [ab]   \mid f'(x)\mid \leq g'(x)[/tex] donc[tex]\forall  x \in [ab]    f'(x) \leq g'(x)[/tex]  et
   [tex]   - f'(x) \leq g'(x)[/tex]

  donc[tex]\forall  x \in [ab]    f'(x) - g'(x)\leq 0[/tex]  et
   [tex] 0 \leq  f'(x) +g'(x)[/tex]
et par suite k croissante  et h decroissante sur [tex][ab][/tex]

3)on prend  f(x)=arctanx  g(x)=x
ona [tex]\forall  x \in [ab]   \mid f'(x)\mid \leq g'(x)[/tex]  [tex]a=\dfrac{1}{2} et b=\dfrac{1}{8}[/tex]
g'(x)=1    et[tex] f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}[/tex]
donc [tex] arctan\dfrac{1}{2}-arctan\dfrac{1}{8} \leq \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}[/tex]

Fred

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Re : exercice th des accroissements finis

Bonjour

  Pour résoudre la qiestion 2 utilise que $k(b)\leq k(a)$ et que $h(b)\geq h(a)$ pour encadrer $f(b)-f(a)$.

F

mrini1957

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Re : exercice th des accroissements finis

salut
merci Fred
je pense que c est le contraire k croiss     et h decroissante  sur [ab] donc  [tex] k(a)\leq k(b)   et   h(b)\leq h(a)  [/tex]

mrini1957

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Re : exercice th des accroissements finis

merci Fred c est une bonne idée ca  a marchée