Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

construction d'un espace probabilisé

Bonjour
Svp j'ai un problème sur les probabilité
Je ne sais pas comment construire une espace probabilisé décrivant une expérience
A l'exemple comment construire l'espace probabilisé associé a  : une urne contient N boules qui se distinguent seulement par des numéros : 1,2,...,N
De cette urne, on tire n boules au hasard de manière exhaustive. On suppose que les boules sont tirées simultanément.
Merci d'avance

Ce que j'ai pensée c'est considéré oméga={ {a1,...,an} 
ai€{1,2...,N} tel que ai<= k(k€IN) pour tout i} et je considère comme tribu les parties de oméga mais je n'arrive pas à définir une probabilité sur cet espace

Dernière modification par pentium mix (04-06-2021 09:55:04)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : construction d'un espace probabilisé

Bonjour,

En identifiant les boules avec leurs numéros :

En notant U l'univers, U est l'ensemble des parties de { 1 ,.., N} à n éléments ( n boules donc ) puisque c'est l'ensemble des épreuves,
ou résultats de l'expérience probabiliste.
Le tirage étant effectué simultanément, il n'y a pas à considérer de n-uplets ( qui distinguerait l'ordre des tirages).

Ensuite la tribu T est l'ensemble des parties de U.

Exemple avec N = 10, n = 6  .
L'évènement "Toutes les n boules sont paires" est un élément X de la tribu T, donc une partie de  U.
X est  exactement la partie de U constituée de tous les sous-ensembles de 6 éléments de { 1, ..., 10 }
{ a , b , c , d , e  , f }   avec a pair, b pair, .... f paire.
X est donc vide (  on n'a que 5 pairs parmi les entiers 1 , 2 .... 10 ).
L'évènement contraire est donc la partie pleine de U: tout {a,b,c,d e,f } est dedans ( elles on toutes un impair au moins...)

Le sujet est un peu abstrait car on considère une tribu T ensemble de parties de parties de parties pour résumer:
chaque élément de U est une partie particulière de { 1, ... N}, donc U est une partie de parties,  et chaque élément de la tribu une partie de U, donc bien une partie de partie de parties, ce qui devient pénible.

Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : construction d'un espace probabilisé

Côté probabilité, en admettant que toutes parties à n boules sont équiprobables ( boules indiscernables lors du tirage simultané des n boules) la probabilité d'un élément X de la tribu T est donc: [tex]Card(X)  / \binom{N}{n}[/tex], à savoir:

Combien de parties ( à n éléments ) sont dans l'évènement X:   Card(X)  = combien de tirages réalisent X.
Combien de parties ( à n éléments ) peuvent sortir : [tex] \binom{N}{n}[/tex] = combien de tirages peuvent sortir au total.

Exemple avec N = 5 ( boules)  n = 4 ( nombre de boules tirées ensemble )

Evènement E = "exactement 3 boules ont des numéros consécutifs"
Sur 5 possibilités ( [tex]\binom{5}{4}[/tex] ) : U = { {1,2,3,4 } , { 1,2,3, 5}, {1,2,4,5},  {1,3,4,5} , {2, 3,4,5} }
E = { { 1 ,2 , 3, 5 } , { 1, 3, 4, 5 }  }
P(E) = 2/5.

Par-contre la tribu possède [tex]2^5[/tex] éléments.
Dans le cas général  : [tex]Card( T ) = 2^{ \binom{N}{n} } [/tex]

Alain

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : construction d'un espace probabilisé

Grand merci