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pentium mix

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ensemble connexe

Bonsoir
S'il vous plait comment montrer en utilisant la définition que (R,|.|) est connexe?
(E est connexe si ses seuls parties ouvertes et fermé sont E et l'ensemble vide)
Merci d'avance!

Quand je prend A une partie a la fois ouverte et fermée de R je ne sais pas comment continuer

Fred

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Re : ensemble connexe

Salut,

  Soit $A$ une partie ouverte et fermée qui n'est ni $\mathbb R$, ni l'ensemble vide. Alors $B=A^c$ est aussi une partie ouverte et fermée de $\mathbb R$ qui n'est ni $\mathbb R$, ni $\varnothing$. Soit $a\in A$ et $b\in B$. On peut supposer, sans perte de généralité, que $a<b$.
Soit $C=\{x\leq b: x\in A\}$ et soit $c=\sup C$. Tu peux ensuite discuter suivant que $c\in A$ ou que $c\in B$, et dans tous les cas trouver une contradiction.

F.

PS : Ce n'est peut-être pas la méthode la plus facile, mais c'est celle qui m'est venue en tête à l'instant...

pentium mix

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Re : ensemble connexe

Merci beaucoup
Mais,s'il vous plait je cherche une contradiction sur quoi??
Je ne comprend pas comment la contradiction va m'aider

Dernière modification par pentium mix (29-04-2021 15:52:25)

Fred

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Re : ensemble connexe

Tu fais un raisonnement par l'absurde (tu as supposé que $\mathbb R$ n'était pas connexe et donc possédait une partie non triviale à la fois ouverte et fermée). Si tu as une contradiction, c'est donc qu'une telle partie n'existe pas.

Si $c\in A$, alors puisque $A$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $]c-r,c+r[\subset A$. Ceci contredit que $c$ est la borne sup des $x\in A$ tels que $x\leq b$. On a une contradiction du même type si $c\in B$.

pentium mix

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Re : ensemble connexe

Tu fais un raisonnement par l'absurde (tu as supposé que $\mathbb R$ n'était pas connexe et donc possédait une partie non triviale à la fois ouverte et fermée). Si tu as une contradiction, c'est donc qu'une telle partie n'existe pas.

Si $c\in A$, alors puisque $A$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $]c-r,c+r[\subset A$. Ceci contredit que $c$ est la borne sup des $x\in A$ tels que $x\leq b$. On a une contradiction du même type si $c\in B$.

Merci bien

bridgslam

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Re : ensemble connexe

Bonjour,

Toujours avec les hypothèses envisagées ( [tex]A \;et \;B = A^c [/tex] ouverts et fermés, et [tex]c = sup C [/tex]  ) il faut néanmoins souligner que ( avec le cas envisagé  [tex]c \in A[/tex]  ) :

- C est fermé, car intersection de deux fermés [tex] ] -\infty  , b ] \cap  A [/tex].

- c borne sup de C est donc dans C,  donc c < b

-  il existe donc un ouvert O de centre c  inclus dans A ( car A est ouvert et contient c ) qui peut aussi être choisi  majoré par b ( car c < b) , donc inclus dans C .

- contradictoire car les éléments de O strictement supérieurs à c ne sont pas dans C, par définition de c.

Les idées sont analogues avec l'autre supposition ( c dans B ) etc.

Alain

Dernière modification par bridgslam (30-04-2021 13:40:34)

bridgslam

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Re : ensemble connexe

On peut noter que [tex]\mathbb{R}[/tex] est connexe par arcs, ce qui est une propriété plus forte que la connexité.

Et là le prouver se fait par-contre en deux coups de cuiller à pot : si x et y sont deux points il existe une fonction f continue de [ 0,1] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que f(0) = x et f(1) = y.

Souvent en topologie des théorèmes assez forts permettent d'obtenir des résultats très rapidement en évitant justement de repartir des définitions, où ces emplois directs sont en général plus laborieux  [ ce qui était cependant demandé ici ].

Noter aussi ( puisque dans ton sujet la topologie de [tex]\mathbb{R}[/tex] est donnée explicitement d'après sa norme |.|  ),  que la topologie revient au même si on ne considère que l'ordre sur [tex]\mathbb{R}[/tex] (sans aucune distance donc, ce qui met mieux en valeur l'aspect "élastique" de la topologie  ), les ouverts étant alors les réunions quelconques d' 'intervalles ouverts .
Dans ce contexte il n'y a plus de boules de rayon r etc puisqu'on occulte la distance.
Heureusement ça revient au même: l'ensemble des ouverts est le même pour les 2 points de vue.

La connexité intervient aussi en théorie des graphes.
Un arbre est par exemple un graphe fini connexe sans cycle: si on ne dit pas connexe, le graphe s'appelle... une forêt... termes très imagés donc. Les feuilles sont les noeuds à une seule arête...Il y a des propriétés numériques: sans doute as-tu remarqué que dans l'arbre d'à côté , il y a toujours ( en comptant les extrémités ) un noeud de plus que de segments de bois ( on procède par récurrence en partant d'un noeud et 0 segment, à un moment quelconque on ajoute soit un segment et une feuille, soit une feuille, un noeud,et 2 segments,
la différence de 1 initiale se perpétue donc ....).

Un graphe est dit connexe s'il existe toujours une suite d'arêtes adjacentes (un "chemin") joignant deux sommets quelconques.
Intuitivement un graphe ne sera en fait pas connexe ssi il existe une partition du graphe { A , B} telle que aucun point de A n'a d'arête avec un point de B ( ce théorème met mieux en valeur à mon avis l'absence de la propriété "un seul tenant", A et B sont des îlots sans gué... eux-même comprenant peut-être d'autres "sous-ilôts" etc si on veut une image  ).
En tous cas les plus grandes parties connexes auxquelles appartiennent les points forment une partition ( en classes de connexité  ), ce qui revient vu dans l'autre sens à la plus forte minimisation des parties non communicantes.

Alain