Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 21-04-2021 16:40:03
- user1992
- Membre
- Inscription : 06-03-2021
- Messages : 43
Somme finie et indice de sommation
Bonjour,
Soit $x = \sum_{k=1}^{n} i_{k}j_{k}$ et $y = \sum_{l=1}^{m} i^{\prime}_{l}j^{\prime}_{l}$, on souhaite montrer que : $$x - y = \sum_{k=1}^{n+m}i_{k}j_{k}$$
En développant le membre de gauche on a :
$$\underbrace{i_1j_1 + i_2j_2 + \cdots + i_nj_n}_{\text{n termes} \\ 1 \leq k \leq n} - \underbrace{i^{\prime}_1j^{\prime}_1 + i^{\prime}_2j^{\prime}_2 + \cdots + i^{\prime}_mj^{\prime}_m}_{\text{m termes } \\ 1 \leq l \leq m} $$
Ensuite, à l'aide du changement de variable $l \leftarrow k -n$ pour $k$ allant de $n+1$ à $n+m$ :
$$x - y = \sum_{k=1}^{n}i_{k}j_{k} - \sum_{k=n+1}^{n+m}i^{\prime}_{k-n}j^{\prime}_{k-n} $$
Là, je ne vois pas comment aller plus loin....
Merci pour votre aide.
Dernière modification par user1992 (21-04-2021 16:48:06)
Hors ligne
#5 21-04-2021 17:23:25
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : Somme finie et indice de sommation
Car tu as $i'_{k-n}=-i_{k}=-i_{...?..}$ . D'où $i'_{l}= ... $ Je te laisse continuer car je tai déjà donné quelques .... indices. Et la philosophie de ce site n'est pas de donner la réponse d'emblée..
EDIT : j'ai grillé la politesse à Fred mais entre temps je vois qu'il est parti..
Dernière modification par Zebulor (23-04-2021 16:01:21)
Hors ligne
#6 23-04-2021 19:36:31
- user1992
- Membre
- Inscription : 06-03-2021
- Messages : 43
Re : Somme finie et indice de sommation
A partir de ta suggestion, on a : $i^{\prime}_{k-n} = -i_{k} = -i_{n+(k-n)} $ et $i^{\prime}_l = -i_{n+l}$
De manière analogue, on pose $j^{\prime}_{k-n} = j_k = j_{n+(k-n)}$ et $j^{\prime}_l = j_{n+l}$,
Ensuite,
\begin{align}
x - y &= \sum_{k=1}^{n}i_kj_k - \sum_{l=1}^{m}i^{\prime}_lj^{\prime}_l \\
& = \sum_{k=1}^{n}i_kj_k + \sum_{l=1}^{m}(-i^{\prime}_l)j^{\prime}_l \\
& = \sum_{k=1}^{n}i_kj_k + \sum_{l=1}^{m}i_{n+l}j_{n+l} \\
& = \sum_{k=1}^{n}i_kj_k + \sum_{k=n+1}^{n+m}i_{k}j_{k} \qquad k \leftarrow n + l \\
& = \sum_{k=1}^{n+m}i_kj_k
\end{align}
Hors ligne
#8 24-04-2021 18:18:11
- user1992
- Membre
- Inscription : 06-03-2021
- Messages : 43
Re : Somme finie et indice de sommation
Bonsoir,
@Zebulor : Ducoup le changement de variable ayant permis d'aboutir est : $-i^{\prime}_{k-n} = i_{k} $ et $j^{\prime}_{k-n} = j_{k} $, ce qui ne correspond pas au texte de la correction de l'exercice 13 voir ici
Qu'en penses-tu ?
Hors ligne